الدرس السادس: مراجعة شاملة للوحدة الثانية (النسبة والتناسب والتغير)

تُمَثِّلُ الْوَحْدَةُ الثَّانِيَةُ رِحْلَةً جَبْرِيَّةً مُتَكَامِلَةً تَبْدَأُ مِنْ (النِّسْبَةِ) وَشَرْطِهَا أَنَّ الْمَقَامَ لَا يُسَاوِي الصِّفْرَ وَثَبَاتِهَا عِنْدَ الضَّرْبِ وَالْقِسْمَةِ، ثُمَّ تَرْتَقِي إِلَى (التَّنَاسُبِ) وَهُوَ تَسَاوِي نِسْبَتَيْنِ أَوْ أَكْثَرَ. وَقَدْ تَعَلَّمْنَا خَوَاصَّهُ الْخَمْسَ الْأَسَاسِيَّةَ؛ وَأَبْرَزُهَا: أَنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ الطَّرَفَيْنِ يُسَاوِي حَاصِلَ ضَرْبِ الْوَسَطَيْنِ (أ د = ب جـ)، وَخَاصِّيَّةُ مُقَدَّمٍ عَلَى مُقَدَّمٍ يُسَاوِي تَالِيًا عَلَى تَالٍ، وَالْفَرْضُ الْجَبْرِيُّ بِالثَّابِتِ (م) حَيْثُ أ = ب م وَ جـ = د م، وَالْخَاصِّيَّةُ الْخَامِسَةُ الَّتِي تَنُصُّ عَلَى أَنَّ مَجْمُوعَ الْمُقَدَّمَاتِ عَلَى مَجْمُوعِ التَّوَالِي يُسَاوِي إِحْدَى النِّسَبِ.

يَنْفَرِدُ (التَّنَاسُبُ الْمُتَسَلْسِلُ) بِتَكْرَارِ الْحُدُودِ الْوَسَطِيَّةِ بَيْنَ النِّسَبِ؛ فَفِي حَالَةِ ثَلَاثِ كَمِّيَّاتٍ [أ / ب = ب / جـ] يَكُونُ الْوَسَطُ الْمُتَنَاسِبُ [ب = ± √(أ جـ)]، وَيُعَوَّضُ عَنْ ب = جـ م ، أ = جـ م². أَمَّا فِي حَالَةِ أَرْبَعِ كَمِّيَّاتٍ [أ / ب = ب / جـ = جـ / د = م]؛ فَإِنَّ التَّعْوِيضَ الْمُتَتَابِعَ يَكُونُ: جـ = د م ، ب = د م² ، أ = د م³. وَيُعَدُّ إِتْقَانُ أَخْذِ الْعَامِلِ الْمُشْتَرَكِ الْأَعْلَى وَتَحْلِيلِ الْفَرْقِ بَيْنَ الْمُرَبَّعَيْنِ وَالْمُكَعَّبَيْنِ سِلَاحَ الطَّالِبِ الْأَقْوَى فِي إِثْبَاتِ صِحَّةِ الْمُتَطَابِقَاتِ الْجَبْرِيَّةِ.

يُمَيِّزُ عَبَاقِرَةُ الرِّيَاضِيَّاتِ بَيْنَ نَوْعَيِ التَّغَيُّرِ بِدِقَّةٍ مُتَنَاهِيَةٍ: 1. (التَّغَيُّرُ الطَّرْدِيُّ ص ∝ س): خَارِجُ الْقِسْمَةِ ثَابِتٌ [ص / س = م] ⇐ ص = م س، وَتَنَاسُبُهُ: ص₁ / ص₂ = س₁ / س₂، وَرَسْمُهُ خَطٌّ مُسْتَقِيمٌ يَمُرُّ بِنُقْطَةِ الْأَصْلِ (0 ، 0). 2. (التَّغَيُّرُ الْعَكْسِيُّ ص ∝ 1/س): حَاصِلُ الضَّرْبِ ثَابِتٌ [س × ص = م] ⇐ ص = م / س، وَتَنَاسُبُهُ: ص₁ / ص₂ = س₂ / س₁، وَرَسْمُهُ مُنْحَنَى دَالَّةٍ كَسْرِيَّةٍ يَقْتَرِبُ مِنَ الْمِحْوَرَيْنِ وَلَا يَقْطَعُهُمَا وَلَا يَمُرُّ بِنُقْطَةِ الْأَصْلِ أَبَدًا.

لِتَحْقِيقِ الدَّرَجَةِ النِّهَائِيَّةِ فِي أَسْئِلَةِ الْوَحْدَةِ الثَّانِيَةِ، يَجِبُ الِالْتِزَامُ بِالْخُطُوَاتِ الْمَنْهَجِيَّةِ التَّالِيَةِ: 1. التَّأَكُّدُ مِنْ وَضْعِ إِشَارَةِ (±) عِنْدَ إِيجَادِ الْوَسَطِ الْمُتَنَاسِبِ مَا لَمْ يُنَصَّ عَلَى أَنَّ الْكَمِّيَّاتِ مُوجَبَةٌ. 2. التَّدْقِيقُ فِي نَوْعِ التَّغَيُّرِ قَبْلَ صِيَاغَةِ التَّنَاسُبِ بَيْنَ ص₁ وَ ص₂. 3. كِتَابَةُ طَرَفَيِ الْمُتَطَابِقَةِ كُلٍّ عَلَى حِدَةٍ (الْأَيْمَنُ = ... ، الْأَيْسَرُ = ...) وَتَبْسِيطِهِمَا حَتَّى يَتَطَابَقَا تَمَامًا. 4. التَّحَقُّقُ دَائِمًا مِنْ أَنَّ حُلُولَ الْمَسَائِلِ اللَّفْظِيَّةِ تُحَقِّقُ شُرُوطَ الْمَسْأَلَةِ الْأَصْلِيَّةِ.