المشغل الصوتي التفاعلي الذكي
استمع إلى النص كاملاً بقراءة معبرة واضحة ومتقنة، أو استمع لكل فقرة منفصلة
الفقرة الأولى: مفهوم التناسب المتسلسل والوسط المتناسب
يُقَالُ إِنَّ الْكَمِّيَّاتِ أ ، ب ، جـ فِي (تَنَاسُبٍ مُتَسَلْسِلٍ) إِذَا كَانَ: [أ / ب = ب / جـ]. وَفِي هَذِهِ الْحَالَةِ يُسَمَّى (أ) الْأَوَّلَ الْمُتَنَاسِبَ، وَ (جـ) الثَّالِثَ الْمُتَنَاسِبَ، بَيْنَمَا يُسَمَّى (ب) بِـ (الْوَسَطِ الْمُتَنَاسِبِ) بَيْنَ أ وَ جـ. وَبِتَطْبِيقِ خَاصِّيَّةِ حَاصِلِ ضَرْبِ الطَّرَفَيْنِ وَالْوَسَطَيْنِ نَجِدُ أَنَّ: [ب² = أ × جـ]؛ أَيْ أَنَّ: [الْوَسَطَ الْمُتَنَاسِبَ = ± √(أ × جـ)]. وَيَجِبُ التَّأْكِيدُ عَلَى وَضْعِ إِشَارَةِ (±) دَائِمًا؛ لِأَنَّ الْجَذْرَ التَّرْبِيعِيَّ لِمُعَادَلَةِ ب² يُعْطِي قِيمَتَيْنِ مُوجَبَةً وَسَالِبَةً إِلَّا إِذَا حَدَّدَتِ الْمَسْأَلَةُ أَنَّ الْكَمِّيَّاتِ مُوجَبَةٌ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما العلاقة التي تحدد الوسط المتناسب بين أ و جـ؟ ولماذا نضع إشارة ±؟
إجابة استرشادية: الوسط المتناسب ب = ± √(أ × جـ)؛ لأن حل المعادلة ب² = أ جـ يقبل قيماً موجبة وسالبة تحقق التناسب.
الفقرة الثانية: التناسب المتسلسل لأكثر من ثلاث كميات
إِذَا كَانَتِ الْكَمِّيَّاتُ أ ، ب ، جـ ، د فِي تَنَاسُبٍ مُتَسَلْسِلٍ؛ فَإِنَّ النِّسَبَ تَتَسَلْسَلُ كَالتَّالِي: [أ / ب = ب / جـ = جـ / د]. حَيْثُ يُمَثِّلُ مَقَامُ كُلِّ نِسْبَةٍ بَسْطًا لِلنِّسْبَةِ الَّتِي تَلِيهَا. وَإِذَا سَاوَيْنَا هَذِهِ النِّسَبَ بِالثَّابِتِ (م)؛ فَإِنَّنَا نَبْدَأُ التَّعْوِيضَ مِنَ النِّهَايَةِ (مِنَ النِّسْبَةِ الْأَخِيرَةِ جـ/د = م)؛ فَنَحْصُلُ عَلَى صِيَغِ الْقُوَى الْمُتَتَابِعَةِ لِـ م.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: كيف تكتب صيغة التناسب المتسلسل لأربعة أعداد أ ، ب ، جـ ، د؟
إجابة استرشادية: تكتب: أ / ب = ب / جـ = جـ / د = م، حيث يتكرر كل حد وسطي بسطاً ومقاماً في السلسلة.
الفقرة الثالثة: قواعد التعويض الجبري بالثابت (م)
تَنْقَسِمُ قَوَاعِدُ التَّعْوِيضِ فِي التَّنَاسُبِ الْمُتَسَلْسِلِ إِلَى حَالَتَيْنِ رَئِيسِيَّتَيْنِ:
1. (حَالَةُ ثَلَاثِ كَمِّيَّاتٍ أ ، ب ، جـ): أ/ب = ب/جـ = م ⇐ [ب = جـ م] وَ [أ = جـ م²].
2. (حَالَةُ أَرْبَعِ كَمِّيَّاتٍ أ ، ب ، جـ ، د): أ/ب = ب/جـ = جـ/د = م ⇐ [جـ = د م] وَ [ب = د م²] وَ [أ = د م³].
هَذِهِ الصِّيَغُ تُمَكِّنُنَا مِنْ تَحْوِيلِ جَمِيعِ حُدُودِ الْمَسْأَلَةِ إِلَى دَلَالَةِ حَرْفَيْنِ فَقَطْ هُمَا (د) وَ (م)؛ مِمَّا يَجْعَلُ أَخْذَ الْعَامِلِ الْمُشْتَرَكِ وَالِاخْتِصَارَ سَلِسًا وَمُبَاشِرًا.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: ما قيم أ و ب و جـ بدلالة د و م في التناسب المتسلسل الرباعي؟
إجابة استرشادية: جـ = د م ، ب = د م² ، أ = د م³.
الفقرة الرابعة: الفروق الجوهرية بين التناسب العادي والتناسب المتسلسل
يَجِبُ عَلَى الطَّالِبِ التَّمْيِيزُ الدَّقِيقُ بَيْنَ نَوْعَيِ التَّنَاسُبِ:
• عِنْدَمَا يُقَالُ: (أ ، ب ، جـ ، د كَمِّيَّاتٌ مُتَنَاسِبَةٌ) ⇐ تَنَاسُبٌ عَادِيٌّ: أ/ب = جـ/د ⇐ أ = ب م ، جـ = د م.
• عِنْدَمَا يُقَالُ: (أ ، ب ، جـ ، د فِي تَنَاسُبٍ مُتَسَلْسِلٍ) ⇐ تَنَاسُبٌ مُتَسَلْسِلٌ: أ/ب = ب/جـ = جـ/د ⇐ جـ = د م ، ب = د م² ، أ = د م³.
• إِذَا ذُكِرَتْ ثَلَاثُ كَمِّيَّاتٍ فَقَطْ وَقِيلَ إِنَّهَا مُتَنَاسِبَةٌ؛ فَإِنَّهَا تَكُونُ حَتْمًا فِي تَنَاسُبٍ مُتَسَلْسِلٍ لِأَنَّهُ لَا يُمْكِنُ تَشْكِيلُ نِسْبَتَيْنِ مِنْ 3 كَمِّيَّاتٍ إِلَّا بِتَكْرَارِ الْحَدِّ الْأَوْسَطِ.
سؤال ذكاء للفهم
سؤال: إذا قيل: س ، ص ، ع كميات متناسبة، فما نوع هذا التناسب تلقائياً؟ ولماذا؟
إجابة استرشادية: تناسب متسلسل تلقائياً (س/ص = ص/ع)؛ لأنه يستحيل تكوين تناسب من 3 كميات إلا بتكرار الحد الأوسط.
خريطة النص والعناصر الفنية التحليلية
استكشف خريطة النص وتعرف على الشخصيات والزمان والمكان والفكرة المحورية وأهم الدروس المستفادة.
خريطة قواعد التناسب المتسلسل
• ثلاث كميات (أ ، ب ، جـ): أ/ب = ب/جـ ⇐ ب² = أ جـ ⇐ ب = ± √(أ جـ).
• التعويض الثلاثي: ب = جـ م ، أ = جـ م².
• أربع كميات (أ ، ب ، جـ ، د): أ/ب = ب/جـ = جـ/د = م.
• التعويض الرباعي: جـ = د م ، ب = د م² ، أ = د م³.
• التحليل: العامل المشترك لقوى م وأقواس الفرق والمجموع.
• التعويض الثلاثي: ب = جـ م ، أ = جـ م².
• أربع كميات (أ ، ب ، جـ ، د): أ/ب = ب/جـ = جـ/د = م.
• التعويض الرباعي: جـ = د م ، ب = د م² ، أ = د م³.
• التحليل: العامل المشترك لقوى م وأقواس الفرق والمجموع.
جدول مقارنة: التناسب العادي مقابل التناسب المتسلسل للأعداد أ ، ب ، جـ ، د
اسحب أفقياً لعرض كامل الجدول
| وجه المقارنة | التناسب العادي | التناسب المتسلسل |
|---|---|---|
| صيغة التناسب | أ / ب = جـ / د | أ / ب = ب / جـ = جـ / د |
| الحدود المكررة | لا توجد حدود مكررة | الحدان ب و جـ يتكرران بسطاً ومقاماً |
| التعويض بالثابت م | أ = ب م ، جـ = د م | جـ = د م ، ب = د م² ، أ = د م³ |
| حساب الوسط | لا يوجد وسط متناسب مباشر | ب = ± √(أ جـ) بين كل حدين متتاليين |
معجم الألفاظ والتراكيب اللغوية الشامل (12 مفردة)
اضغط على أيقونة السماعة للاستماع لنطق الكلمة ومعناها وجملتها النموذجية
معنى
التَّنَاسُبُ الْمُتَسَلْسِلُ
تَسَاوِي نِسَبٍ يَتَكَرَّرُ فِيهَا الْمَقَامُ كَبَسْطٍ لِلنِّسْبَةِ التَّالِيَةِ
أ/ب = ب/جـ = جـ/د تناسب متسلسل.
معنى
الْوَسَطُ الْمُتَنَاسِبُ
الْحَدُّ الْأَوْسَطُ الَّذِي مُرَبَّعُهُ يُسَاوِي حَاصِلَ ضَرْبِ طَرَفَيْهِ (± √(أ جـ))
الوسط المتناسب للعددين 4 و 9 هو ± 6.
معنى
الثَّالِثُ الْمُتَنَاسِبُ
الْحَدُّ الثَّالِثُ جـ فِي التَّنَاسُبِ الْمُتَسَلْسِلِ (جـ = ب² / أ)
الثالث المتناسب للعددين 3 و 6 هو 12.
معنى
الْجَذْرُ الْهَنْدَسِيُّ
الْجَذْرُ التَّرْبِيعِيُّ لِحَاصِلِ ضَرْبِ عَدَدَيْنِ وَيُمَثِّلُ الْوَسَطَ الْمُتَنَاسِبَ
الوسط المتناسب هو الوسط الهندسي.
معنى
السِّلْسِلَةُ
تَتَابُعُ النِّسَبِ حَيْثُ يُسَلِّمُ كُلُّ حَدٍّ لِلْآخَرِ
سلسلة التناسب المتسلسل.
معنى
التَّعْوِيضُ التَّرَاكُمِيُّ
التَّعْبِيرُ عَنِ الْحُدُودِ بِقُوَى م (م ، م² ، م³)
أ = د م³ ، ب = د م².
معنى
إِشَارَةُ (±)
تَعْبِيرٌ عَنْ وُجُودِ حَلَّيْنِ مُوجَبٍ وَسَالِبٍ لِلْوَسَطِ الْمُتَنَاسِبِ
الوسط = ± 4.
معنى
مُتَتَالِيَةٌ
تَرْتِيبٌ مَنْطِقِيٌّ لِلْأَعْدَادِ يَخْضَعُ لِقَاعِدَةٍ حِسَابِيَّةٍ أَوْ هَنْدَسِيَّةٍ
متتالية الأعداد المتناسبة متسلسلاً.
معنى
الِاخْتِصَارُ الْجَبْرِيُّ
حَذْفُ الْعَوَامِلِ الْمُشْتَرَكَةِ بَيْنَ الْبَسْطِ وَالْمَقَامِ
اختصار المقدار (م² + 1) من الطرفين.
معنى
إِثْبَاتُ الصِّحَّةِ
الْبُرْهَانُ عَلَى تَسَاوِي طَرَفَيْ مُعَادَلَةٍ أَوْ مُتَطَابِقَةٍ
إثبات صحة الطرفين الأيمن والأيسر.
مضاد
مُتَسَلْسِلٌ ↔ مُنْقَطِعٌ
المضاد: الْمُتَرَابِطُ الْمُتَتَابِعُ مُقَابِلَ الْمُتَفَرِّقِ
التناسب المتسلسل مترابط الحدود.
جمع
وَسَطٌ
الجمع: أَوْسَاطٌ (الْحَدُّ الْوَاقِعُ بَيْنَ طَرَفَيْنِ)
أوساط التناسب المتسلسل.
معمل الجبر: مهارات إثبات المتطابقات في التناسب المتسلسل
استراتيجية الحل الاحترافية لاختبارات الشهادة الإعدادية في التناسب المتسلسل:
1. تحديد صياغة المسألة (3 أم 4 كميات)
إذا كانت 3 كميات: ب = جـ م ، أ = جـ م². إذا كانت 4 كميات: جـ = د م ، ب = د م² ، أ = د م³.
أمثلة: الضبط الدقيق للفرض يضمن صحة البرهان.
2. فك الحدود المربعة والمكعبة بدقة
انتبه: أ² = (د م³)² = د² م⁶ ، وَ ب² = (د م²)² = د² م⁴.
أمثلة: توزيع الأس الداخلي والخارجي: 3 × 2 = 6.
3. إخراج أعلى أس كعامل مشترك
في المقدار (د² م⁶ + د² م⁴) العامل المشترك هو د² م⁴ ويتبقى (م² + 1).
أمثلة: الاختصار النهائي يثبت تطابق الطرفين.
تدريب برهاني متقدم
إذا كان ب وسطاً متناسباً بين أ و جـ ، فأثبت أن: (أ² + ب²) / (ب² + جـ²) = أ / جـ.
البرهان:
ب وسط متناسب ⇐ أ/ب = ب/جـ = م ⇐ ب = جـ م ، أ = جـ م².
الطرف الأيمن = [(جـ م²)² + (جـ م)²] / [(جـ م)² + جـ²]
= [جـ² م⁴ + جـ² م²] / [جـ² م² + جـ²] = [جـ² م² (م² + 1)] / [جـ² (م² + 1)] = م².
الطرف الأيسر = أ / جـ = (جـ م²) / جـ = م².
إذن: الطرف الأيمن = الطرف الأيسر (وهو المطلوب إثباته).
البرهان:
ب وسط متناسب ⇐ أ/ب = ب/جـ = م ⇐ ب = جـ م ، أ = جـ م².
الطرف الأيمن = [(جـ م²)² + (جـ م)²] / [(جـ م)² + جـ²]
= [جـ² م⁴ + جـ² م²] / [جـ² م² + جـ²] = [جـ² م² (م² + 1)] / [جـ² (م² + 1)] = م².
الطرف الأيسر = أ / جـ = (جـ م²) / جـ = م².
إذن: الطرف الأيمن = الطرف الأيسر (وهو المطلوب إثباته).
بنك التقييم الذكي الشامل (10 سؤالاً)
اختر الإجابة الصحيحة لكل سؤال، وستحصل فوراً على التغذية الراجعة والتفسير التعليمي
النتيجة: 0 / 10
1
الوسط المتناسب للعددين 3 و 27 هو:
2
الثالث المتناسب للعددين 4 و 8 هو:
3
إذا كان س وسطاً متناسباً بين 2 و 8 ، فإن س تساوي:
4
إذا كانت الكميات 2 ، س ، 18 في تناسب متسلسل موجبة، فإن س تساوي:
5
إذا كان أ/ب = ب/جـ = جـ/د = 2 ، فإن أ/د تساوي:
6
الوسط المتناسب للكميتين 9س² و 4ص² هو:
7
إذا كان أ ، ب ، جـ في تناسب متسلسل، فإن (أ + ب) / (ب + جـ) يساوي:
8
العدد الذي إذا أضيف إلى كل من 1 ، 3 ، 7 تصبح في تناسب متسلسل هو:
9
إذا كان ب وسطاً متناسباً بين أ و جـ ، فإن أ جـ تساوي:
10
إذا كان أ ، ب ، جـ ، د في تناسب متسلسل، فإن المقدار (أ - ب) / (ب - جـ) يساوي: