اختبارات المشتقة الأولى والثانية وتعيين القيم القصوى المطلقة
يُمثل تحديد القيم العظمى والصغرى لمنحنيات الدوال حجر الزاوية في التحليل الرياضي والتطبيقات الهندسية والحياتية، حيث تُمكّننا المشتقات من معرفة قمم وقيعان المنحنيات بدقة تامة. تُصنف القيم القصوى إلى نوعين رئيسيين: القيم المحلية (Local Extrema) التي تُمثل أعلى أو أدنى قيمة للدالة في جوار مفتوح حول النقطة، ويتم الكشف عنها إما باختبار المشتقة الأولى (ملاحظة تغير إشارة f'(x) من الموجب إلى السالب للعظمى ومن السالب إلى الموجب للصغرى)، أو باختبار المشتقة الثانية عند النقطة الحرجة (إذا كانت f''(c) < 0 فالقيمة عظمى محلية، وإذا كانت f''(c) > 0 فالقيمة صغرى محلية). أما القيم القصوى المطلقة (Absolute Extrema) فتُمثل القيمة الكبرى أو الصغرى على الإطلاق للدالة المتصلة على فترة مغلقة [a, b]، وتتحقق دائماً وفق نظرية القيمة القصوى عند النقط الحرجة الواقعة داخل الفترة أو عند طرفي الفترة ذاتها.
1. اختبار المشتقة الأولى للقيم العظمى والصغرى المحلية
إذا كانت c نقطة حرجة لدالة متصلة f:
قيمة عظمى محلية (Local Maximum)
إذا تغيرت إشارة f'(x) من الموجب إلى السالب عند المرور بالنقطة c من اليسار إلى اليمين (صعود ثم هبوط).
قيمة صغرى محلية (Local Minimum)
إذا تغيرت إشارة f'(x) من السالب إلى الموجب عند المرور بالنقطة c من اليسار إلى اليمين (هبوط ثم صعود).
2. اختبار المشتقة الثانية
إذا كانت f'(c) = 0 وكانت f''(c) موجودة:
- إذا كانت f''(c) < 0 فإن للدالة قيمة عظمى محلية عند x = c (المنحنى محدب لأعلى).
- إذا كانت f''(c) > 0 فإن للدالة قيمة صغرى محلية عند x = c (المنحنى محدب لأسفل).
- إذا كانت f''(c) = 0 يفشل الاختبار ونلجأ لاختبار المشتقة الأولى.
3. القيم العظمى والصغرى المطلقة على فترة مغلقة [a, b]
- نوجد النقط الحرجة للدالة
fالتي تنتمي للفترة المفتوحة(a, b)ونحسب قيم الدالة عندها. - نحسب قيمتي الدالة عند طرفي الفترة:
f(a)وf(b). - أكبر هذه القيم جميعاً هي القيمة العظمى المطلقة، وأصغرها هي القيمة الصغرى المطلقة.
f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 1 على الفترة [-2, 3].الحل:
f'(x) = 6x² - 6x - 12 = 6(x² - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1) = 0 ⟹ x = 2 تنتمي للفترة، و x = -1 تنتمي للفترة.
نحسب قيم الدالة عند النقط الحرجة وطرفي الفترة:
- f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 1 = -16 - 12 + 24 + 1 = -3
- f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 1 = -2 - 3 + 12 + 1 = 8
- f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19
- f(3) = 2(27) - 3(9) - 12(3) + 1 = 54 - 27 - 36 + 1 = -8
إذن القيمة العظمى المطلقة هي 8 (عند x = -1)، والقيمة الصغرى المطلقة هي -19 (عند x = 2).
f(x) = x⁴ - 4x³، حدد نوع النقطة الحرجة عند x = 3 باستخدام المشتقة الثانية.الحل:
f'(x) = 4x³ - 12x² ⟹ f'(3) = 4(27) - 12(9) = 108 - 108 = 0 (نقطة حرجة).
المشتقة الثانية:
f''(x) = 12x² - 24x.نعوض بـ x = 3:
f''(3) = 12(9) - 24(3) = 108 - 72 = 36 > 0.بما أن f''(3) موجبة (> 0)، فإن للدالة قيمة صغرى محلية عند x = 3 ومقدارها f(3) = 81 - 108 = -27.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: