الصف الثالث الثانوي - رياضيات بحتة
الوحدة الثانية: تطبيقات التفاضل وسلوك الدالة ورسم المنحنيات
النمذجة الرياضية لحل مسائل التحسين وأقصى مساحة وحجم وأقل تكلفة
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تُمثل مسائل تطبيقات القيم العظمى والصغرى (Optimization Problems) قمة التوظيف العملي والواقعي لعلم التفاضل والتكامل في الهندسة والاقتصاد والصناعة، حيث تهدف إلى إيجاد أفضل الحلول الرياضية الممكنة؛ كتحقيق أكبر مساحة أو أكبر حجم بأقل كمية من المواد الخام، أو تحقيق أقصى ربح إنتاجي بأقل تكلفة ممكنة، أو إيجاد أقصر مسافة هندسية بين نقطة ومنحنى متحرك. تعتمد المنهجية الصارمة لحل هذه المسائل على تحويل المسألة اللفظية إلى دالة رياضية تُسمى دالة الهدف (Objective Function)، ثم ربط متغيرات المسألة بعلاقة مساعدة (Constraint Equation) لاختزال دالة الهدف في متغير مستقل واحد فقط، يلي ذلك اشتقاق الدالة ومساواة مشتقتها بالصفر لإيجاد النقطة الحرجة، والتحقق التام من نوع القيمة (عظمى أو صغرى) باستخدام اختبار المشتقة الأولى أو الثانية.
1. خطوات النمذجة الرياضية لمسائل القيم العظمى والصغرى
- رسم شكل توضيحي: رسم شكل هندسي للمسألة وتحديد المتغيرات والثوابت عليه بدقة.
- تحديد دالة الهدف: كتابة العلاقة الرياضية للكمية المراد جعلها أكبر ما يمكن أو أصغر ما يمكن (المساحة، الحجم، التكلفة، المسافة...).
- العلاقة المساعدة: إيجاد معادلة تربط بين المتغيرات من معطيات المسألة (محيط ثابت، مساحة ثابتة، علاقة فيثاغورس، تشابه مثلثات...) للتعبير عن أحد المتغيرين بدلالة الآخر.
- صياغة الدالة بمتغير واحد: التعويض بالعلاقة المساعدة في دالة الهدف لتصبح دالة في متغير مستقل واحد:
f(x)وتحديد مجالها الفيزيائي. - إيجاد النقطة الحرجة: إيجاد
f'(x)ومساواتها بالصفر لحساب قيمة المتغيرx. - التحقق من نوع القيمة القصوى: استخدام المشتقة الثانية
f''(x)(سالبة للعظمى، موجبة للصغرى) أو خط أعداد المشتقة الأولى.
المسألة: قطعة أرض مستطيلة الشكل يراد إحاطتها بسياج طوله 120 متراً من ثلاثة جوانب فقط حيث يحدها نهر مستقيم من الجانب الرابع. أوجد أبعاد قطعة الأرض لتكون مساحتها أكبر ما يمكن.
الحل:
نفرض طول الضلعين العموديين على النهر x، وطول الضلع الموازي للنهر y.
طول السياج:
المساحة المراد جعلها أكبر ما يمكن:
نشتق بالنسبة لـ x:
المشتقة الثانية:
إذن البعدان هما: x = 30 m و y = 120 - 2(30) = 60 m، وأكبر مساحة هي 30 × 60 = 1800 m².
الحل:
نفرض طول الضلعين العموديين على النهر x، وطول الضلع الموازي للنهر y.
طول السياج:
2x + y = 120 ⟹ y = 120 - 2x (العلاقة المساعدة).المساحة المراد جعلها أكبر ما يمكن:
A = x · y = x(120 - 2x) = 120x - 2x².نشتق بالنسبة لـ x:
A' = 120 - 4x = 0 ⟹ 4x = 120 ⟹ x = 30 m.المشتقة الثانية:
A'' = -4 < 0 (قيمة عظمى بالتأكيد).إذن البعدان هما: x = 30 m و y = 120 - 2(30) = 60 m، وأكبر مساحة هي 30 × 60 = 1800 m².
المسألة: أوجد أقرب نقطة على منحنى القطع المكافئ
الحل:
مربع المسافة بين النقطة (x, y) و (0, 5) هو:
بما أن x² = y:
نشتق بالنسبة لـ y:
x² = 4.5 ⟹ x = ± √(4.5) = ± (3√2)/2.
إذن توجد نقطتان هما: (√(4.5), 4.5) و (-√(4.5), 4.5).
y = x² للنقطة (0, 5).الحل:
مربع المسافة بين النقطة (x, y) و (0, 5) هو:
S = (x - 0)² + (y - 5)² = x² + (y - 5)².بما أن x² = y:
S = y + (y - 5)² = y + y² - 10y + 25 = y² - 9y + 25.نشتق بالنسبة لـ y:
S' = 2y - 9 = 0 ⟹ y = 4.5.x² = 4.5 ⟹ x = ± √(4.5) = ± (3√2)/2.
إذن توجد نقطتان هما: (√(4.5), 4.5) و (-√(4.5), 4.5).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
دالة الهدف
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الدالة الرياضية المعبرة عن الكمية المراد جعلها قيمة عظمى أو صغرى
💡 إضاءة وتوضيح: Objective function
العلاقة المساعدة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
معادلة القيود والشروط التي تربط بين متغيرات المسألة لاختزالها في متغير واحد
💡 إضاءة وتوضيح: Constraint equation
مسائل التحسين (Optimization)
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
فرع تطبيقي من الرياضيات يبحث عن أفضل قيمة كمية ممكنة
💡 إضاءة وتوضيح: Mathematical optimization
أكبر مساحة ممكنة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
قيمة عظمى مطلقة لدالة المساحة الهندسية تحت قيود محيط محدد
💡 إضاءة وتوضيح: Maximum area
أقل تكلفة مادية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
قيمة صغرى مطلقة لدالة التكلفة المالية لمشروع أو منتج صناعي
💡 إضاءة وتوضيح: Minimum cost
أقصر مسافة هندسية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
أصغر بعد ممكن بين نقطة ومنحنى أو بين منحنيين متحركين
💡 إضاءة وتوضيح: Shortest distance
المجال الفيزيائي للمتغير
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
فترة القيم الواقعية المسموح بها للمتغير (كالأطوال الموجبة x > 0)
💡 إضاءة وتوضيح: Physical domain
اختبار المشتقة الثانية للتحسين
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
استخدام إشارة f'' للتأكد الجازم من كون النقطة عظمى أو صغرى
💡 إضاءة وتوضيح: Second derivative verification
متوازي المستطيلات الأقصى حجماً
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
صندوق بأبعاد تحقق أكبر سعة حجمية بأقل مساحة سطحية
💡 إضاءة وتوضيح: Maximum volume cuboid
الأسطوانة الدائرية القائمة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجسم هندسي يتكرر في مسائل حفظ السوائل بأقل معدن ممكن
💡 إضاءة وتوضيح: Right circular cylinder
مخروط دائري قائم
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مجسم يتكرر في مسائل الأشكال المحتواة داخل كرات مجوفة
💡 إضاءة وتوضيح: Right circular cone
الوتر والضلعان القائمان
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
أضلاع المثلث القائم المستخدمة في مسائل فيثاغورس الهندسية
💡 إضاءة وتوضيح: Right-angled triangle constraints
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
عددان حقيقيان موجبان مجموعهما 20، فإن حاصل ضربهما يكون أكبر ما يمكن عندما يكون العددان هما:
2
أكبر مساحة لمستطيل محيطه 40 cm تكون عندما يكون المستطيل:
3
أصغر محيط لمستطيل مساحته 36 cm² يساوي:
4
خزان مياه على شكل متوازي مستطيلات قاعدته مربعة الشكل وبدون غطاء سعته 32 m³، تكون مساحة الألواح المستخدمة لصنعه أقل ما يمكن عندما يكون طول ضلع قاعدته:
5
مثلث قائم الزاوية طول وتره 10 cm، فإن مساحته تكون أكبر ما يمكن عندما يكون طول كل من ضلعي القائمة مساوياً:
6
أقصر مسافة بين النقطة (2, 0) ومنحنى الدالة y² = 2x تساوي:
7
يراد صنع علبة أسطوانية الشكل سعتها 1 لتر (1000 cm³)، تكون مساحة الصفيح المستخدم أقل ما يمكن عندما يكون:
8
عددان موجبان حاصل ضربهما 16، فإن مجموعهما يكون أصغر ما يمكن عندما يكون العددان هما:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!