الصف الثالث الثانوي - رياضيات بحتة
الوحدة الثانية: تطبيقات التفاضل وسلوك الدالة ورسم المنحنيات
الربط التحليلي المتقدم للتفاضل والتطبيقات الهندسية المركبة
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تُمثل هذه المراجعة التخصصية الشاملة للوحدة الثانية في الرياضيات البحتة (التفاضل وتطبيقاته) المحطة الختامية لصقل المهارات التحليلية العليا للثانوية العامة. حيث يتم دمج مفاهيم الاطراد، التحدب، النقط الحرجة، ونقط الانقلاب، مع المسائل غير النمطية ومسائل الثوابت المجهولة المتعددة (a, b, c, d)، ومسائل قراءة المنحنيات البيانية المعكوسة (كالاستدلال على سلوك الدالة f من منحنى مشتقتها الأولى f' أو مشتقتها الثانية f''). كما تركز المراجعة على مسائل القيم العظمى والصغرى ثلاثية الأبعاد والأشكال المحتواة داخل دوائر وكرات ومخاريط، مما يضمن إتقان الطالب التام للتعامل مع أدق وأعمق الأفكار الاختبارية المعتمدة في النماذج الرسمية.
1. مصفوفة التحليل الشاملة لسلوك الدوال
| الخاصية الرياضية | الأداة التفاضلية المحددة | الشرط الرياضي والمعنى الهندسي |
|---|---|---|
| التزايد والتناقص | المشتقة الأولى f'(x) | f' > 0 صعود (تزايد)، f' < 0 هبوط (تناقص) |
| النقط الحرجة | أصفار أو عدم وجود f'(x) | f'(c) = 0 (مماس أفقي) أو f'(c) غير معرفة |
| القيم العظمى والصغرى المحلية | تغير إشارة f' أو إشارة f'' | من + إلى - (عظمى)، من - إلى + (صغرى) / f'' < 0 (عظمى) |
| التحدب ونقط الانقلاب | المشتقة الثانية f''(x) | f'' > 0 محدب لأسفل، f'' < 0 محدب لأعلى، وتغير الإشارة انقلاب |
المسألة: إذا كان لمنحنى الدالة
الحل:
1) النقطة (0, 3) تقع على المنحنى: f(0) = d ⟹ d = 3.
2) النقطة (0, 3) حرجة ⟹ f'(0) = c = 0 ⟹ c = 0.
3) f'(x) = 3ax² + 2bx ⟹ f''(x) = 6ax + 2b.
نقطة انقلاب عند x = 1 ⟹ f''(1) = 6a + 2b = 0 ⟹ b = -3a.
4) النقطة (1, 1) تقع على المنحنى: f(1) = a + b + c + d = 1 ⟹ a + (-3a) + 0 + 3 = 1 ⟹ -2a = -2 ⟹ a = 1 ومنها b = -3.
إذن قاعدة الدالة هي:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d نقطة حرجة عند (0, 3) ونقطة انقلاب عند (1, 1)، فأوجد قيم الثوابت a, b, c, d.الحل:
1) النقطة (0, 3) تقع على المنحنى: f(0) = d ⟹ d = 3.
2) النقطة (0, 3) حرجة ⟹ f'(0) = c = 0 ⟹ c = 0.
3) f'(x) = 3ax² + 2bx ⟹ f''(x) = 6ax + 2b.
نقطة انقلاب عند x = 1 ⟹ f''(1) = 6a + 2b = 0 ⟹ b = -3a.
4) النقطة (1, 1) تقع على المنحنى: f(1) = a + b + c + d = 1 ⟹ a + (-3a) + 0 + 3 = 1 ⟹ -2a = -2 ⟹ a = 1 ومنها b = -3.
إذن قاعدة الدالة هي:
f(x) = x³ - 3x² + 3.
المسألة: أثبت أن أكبر مستطيل يمكن رسمه داخل دائرة نصف قطرها R هو مربع، وأوجد مساحته بدلالة R.
الحل: قطر المستطيل = قطر الدائرة = 2R.
فيثاغورس: x² + y² = (2R)² = 4R² ⟹ y² = 4R² - x².
مربع المساحة:
نشتق بالنسبة لـ x²: dM/d(x²) = 4R² - 2x² = 0 ⟹ x² = 2R² ⟹ x = R√2.
وعندها y² = 4R² - 2R² = 2R² ⟹ y = R√2.
بما أن x = y = R√2، فإن المستطيل هو مربع، ومساحته العظمى هي
الحل: قطر المستطيل = قطر الدائرة = 2R.
فيثاغورس: x² + y² = (2R)² = 4R² ⟹ y² = 4R² - x².
مربع المساحة:
M = A² = x² · y² = x²(4R² - x²) = 4R² x² - x⁴.نشتق بالنسبة لـ x²: dM/d(x²) = 4R² - 2x² = 0 ⟹ x² = 2R² ⟹ x = R√2.
وعندها y² = 4R² - 2R² = 2R² ⟹ y = R√2.
بما أن x = y = R√2، فإن المستطيل هو مربع، ومساحته العظمى هي
A = x · y = 2R².
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
النمذجة الرياضية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
تحويل المشكلات التطبيقية الواقعية إلى معادلات ودوال تفاضلية لحلها
💡 إضاءة وتوضيح: Mathematical modeling
معادلة الدرجة الثالثة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
دالة تكعيبية تمتلك دائماً نقطة انقلاب وحيدة وتماثلاً مركزياً حولها
💡 إضاءة وتوضيح: Cubic polynomial
المستطيل الأقصى مساحة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
الشكل الرباعي المحاط بدائرة وتكون مساحته عظمى عندما يتحول لمربع
💡 إضاءة وتوضيح: Inscribed maximum rectangle
مسائل الثوابت المجهولة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مسائل استنتاج معاملات الدالة من معطيات النقط الحرجة والانقلاب
💡 إضاءة وتوضيح: Parameter determination
قراءة المنحنيات المشتقة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مهارة استنتاج خواص الدالة f من خلال تحليل المنحنى البياني لـ f' أو f''
💡 إضاءة وتوضيح: Derivative curve reading
التحسين الهندسي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
إيجاد الأبعاد المثلى للمجسمات ثلاثية الأبعاد لتحقيق أكبر سعة
💡 إضاءة وتوضيح: Geometric optimization
التناظر المركزي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
التطابق النقطي لمنحنى الدالة حول نقطة الانقلاب
💡 إضاءة وتوضيح: Point symmetry
معدل تغير الميل
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المعنى الهندسي والفيزيائي الدقيق للمشتقة الثانية f''(x)
💡 إضاءة وتوضيح: Rate of slope change
القيمة القصوى المطلقة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
القيمة المطلقة الأكبر أو الأصغر على كامل فترة البحث المعطاة
💡 إضاءة وتوضيح: Global extremum
المماس الأفقي عند الانقلاب
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
مماس للدالة يكون موازياً للسينات ومخترقاً للمنحنى (f'=0 و f''=0)
💡 إضاءة وتوضيح: Stationary inflection point
القيد الرياضي
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المعادلة الهندسية التي تحدد نطاق حركة المتغيرات في مسائل التطبيقات
💡 إضاءة وتوضيح: Mathematical constraint
الدالة المعرفة بقاعدتين
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
دالة تختلف صيغتها على فترات مختلفة وتتطلب فحص الاتصال والاشتقاق عند الفصل
💡 إضاءة وتوضيح: Piecewise-defined function
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
إذا كانت النقطة (2, 5) نقطة انقلاب لمنحنى الدالة f(x) = x³ + ax² + bx + 1، فإن قيمة a تساوي:
2
أكبر مساحة لمثلث متساوي الساقين محيطه 30 cm تكون عندما يكون المثلث:
3
إذا كان منحنى الدالة f(x) يقع بأكمله أعلى جميع مماساته على الفترة (1, 5)، فإن ذلك يعني أن:
4
للدالة f(x) = (x - 1)³ + 2 نقطة انقلاب هي:
5
إذا كانت f'(x) = (x - 2)(x - 4)، فإن الدالة f(x) تبلغ قيمة عظمى محلية عند:
6
صندوق على شكل شبه مكعب حجمه 108 cm³ وقاعدته مربعة، تكون مساحته السطحية الكلية أصغر ما يمكن عندما يكون مكعباً طول حرفه:
7
إذا كان للدالة f(x) = x³ + ax² + 9x نقطة حرجة عند x = 1، فإن نوع هذه النقطة الحرجة هو:
8
إذا كانت دالة الإيراد الكلي R(x) = 100x - 0.5x² حيث x عدد الوحدات المنتجة، فإن أقصى إيراد يتحقق بإنتاج:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!