المشتقة الثانية وبحث انحناء المنحنيات وشروط نقطة الانقلاب
يُمثل انحناء وتحدب المنحنيات الهندسية البعد الثاني لفهم التضاريس البيانية للدوال الرياضية، حيث تُمكّننا المشتقة الثانية للدالة f''(x) من قياس معدل تغير ميل المماس ذاته عبر المنحنى. فإذا كانت المشتقة الثانية موجبة (f''(x) > 0) على فترة ما، فإن ميل المماس يزداد اطراداً ويقع منحنى الدالة بأكمله أعلى مماساته، ويُقال إن المنحنى محدب لأسفل (Concave Upward). وإذا كانت المشتقة الثانية سالبة (f''(x) < 0)، فإن ميل المماس يتناقص ويقع المنحنى أسفل مماساته، ويُقال إنه محدب لأعلى (Concave Downward). وتُعرّف نقطة الانقلاب (Inflection Point) بأنها النقطة التي يفصل عندها المنحنى بين منطقتي تحدب متعاكستين، بشرط أن تكون الدالة متصلة عندها وتمتلك مماساً محدداً، حيث تنعدم المشتقة الثانية عندها أو تكون غير معرفة وتغير إشارتها حولها.
1. اتجاه التحدب والمشتقة الثانية
محدب لأسفل (مقعر لأعلى ∪)
إذا كانت f''(x) > 0 لجميع قيم x في الفترة، فإن المنحنى يقع أعلى جميع مماساته ويكون محدباً لأسفل.
محدب لأعلى (مقعر لأسفل ∩)
إذا كانت f''(x) < 0 لجميع قيم x في الفترة، فإن المنحنى يقع أسفل جميع مماساته ويكون محدباً لأعلى.
2. شروط نقطة الانقلاب (Inflection Point)
تكون النقطة (c, f(c)) نقطة انقلاب لمنحنى الدالة إذا تحققت الشروط الثلاثة مجتمعة:
- الدالة
fمتصلة عند c ولها مماس وحيد عند النقطة (يخترق المنحنى عند نقطة الانقلاب). - إما أن تكون
f''(c) = 0أو تكونf''(c)غير معرفة. - تتغير إشارة المشتقة الثانية f''(x) عند المرور بالنقطة c من الموجب إلى السالب أو من السالب إلى الموجب (يتغير اتجاه التحدب).
f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2.الحل:
f'(x) = 3x² - 12x + 9
المشتقة الثانية:
f''(x) = 6x - 12.نضع f''(x) = 0 ⟹ 6x - 12 = 0 ⟹ x = 2.
نبحث إشارة f''(x):
- عندما x < 2: f''(x) < 0 ⟹ المنحنى محدب لأعلى على الفترة
(-∞, 2).- عندما x > 2: f''(x) > 0 ⟹ المنحنى محدب لأسفل على الفترة
(2, ∞).بما أن إشارة المشتقة الثانية تغيرت والدالة متصلة، فإن النقطة
(2, f(2)) = (2, 8 - 24 + 18 + 2) = (2, 4) هي نقطة انقلاب للمنحنى.
f(x) = x⁴؟الحل:
f'(x) = 4x³ ⟹ f''(x) = 12x² ⟹ f''(0) = 0.
لكن 12x² ≥ 0 دائماً لجميع قيم x، أي أن إشارة f''(x) موجبة على يمين ويسار الصفر، والمنحنى محدب لأسفل على كلا الجانبين ولم يتغير اتجاه التحدب.
إذن النقطة (0, 0) ليست نقطة انقلاب (بل هي نقطة صغرى محلية ومطلقة).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: