بحث اطراد الدوال وتحديد النقط الحرجة باستخدام المشتقة الأولى
يُمثل بحث سلوك الدالة الرياضية واطرادها التطبيق الهندسي والتحليلي الأبرز لحساب التفاضل؛ حيث تُمكّننا المشتقة الأولى للدالة f'(x) من الكشف الدقيق عن اتجاه ميل المماس لمنحنى الدالة عند أي نقطة في مجالها. فإذا كانت المشتقة الأولى موجبة تماماً على فترة ما (f'(x) > 0)، فإن منحنى الدالة يكون متزايداً باطراد على هذه الفترة صعوداً من اليسار إلى اليمين، وإذا كانت المشتقة سالبة (f'(x) < 0)، فإن المنحنى يكون متناقصاً هبوطاً. وتُعرّف النقطة الحرجة (Critical Point) بأنها أي نقطة تنتمي إلى مجال الدالة يكون عندها ميل المماس أفقياً منعدماً (f'(x) = 0) أو يكون المماس عندها رأسياً أو غير معرف (f'(x) غير معرفة)، وتُمثل هذه النقط الحرجة المحطات الفاصلة التي يمكن أن تنقلب عندها الدالة من التزايد إلى التناقص أو العكس.
1. تعريف النقطة الحرجة (Critical Point)
تكون النقطة (c, f(c)) نقطة حرجة للدالة f إذا تحقق الشرطان معاً:
- العدد c ينتمي إلى مجال الدالة f (شرط الوجود والاتصال).
- إما أن تكون f'(c) = 0 (مماس أفقي موازٍ لمحور السينات)، أو تكون f'(c) غير معرفة (كوجود مماس رأسي أو نقطة سنية أو رأس مدبب).
2. فترات التزايد والتناقص واختبار المشتقة الأولى
لتكن الدالة f متصلة على الفترة [a, b] وقابلة للاشتقاق على (a, b):
الدالة متزايدة (Increasing)
إذا كانت f'(x) > 0 لجميع قيم x في الفترة المفتوحة (a, b)، فإن الدالة f تكون متزايدة على [a, b].
الدالة متناقصة (Decreasing)
إذا كانت f'(x) < 0 لجميع قيم x في الفترة المفتوحة (a, b)، فإن الدالة f تكون متناقصة على [a, b].
ملاحظة منهجية: فترات التزايد والتناقص تُكتب دائماً كفترات مفتوحة (أو مغلقة إذا كانت متصلة عند الأطراف وفق المعايير الوزارية).
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5.خطوات الحل النموذجي:
1) مجال الدالة هو ℝ (كثيرة حدود).
2) نشتق الدالة:
f'(x) = 3x² - 6x - 9.3) نساوي المشتقة بالصفر لإيجاد النقط الحرجة:
3(x² - 2x - 3) = 0 ⟹ 3(x - 3)(x + 1) = 0 ⟹ x = 3 أو x = -1.النقط الحرجة هي:
(-1, f(-1)) = (-1, 10) و (3, f(3)) = (3, -22).4) ببحث إشارة f'(x) على خط الأعداد:
- على
(-∞, -1): f'(x) > 0 ⟹ الدالة متزايدة.- على
(-1, 3): f'(x) < 0 ⟹ الدالة متناقصة.- على
(3, ∞): f'(x) > 0 ⟹ الدالة متزايدة.
f(x) = (x - 2)^(2/3).الحل: المجال ℝ. المشتقة الأولى:
f'(x) = 2 / [3 (x - 2)^(1/3)].المشتقة لا تساوي صفراً لأي قيمة لـ x (البسط ثابت 2)، ولكن المقام يساوي صفراً عند x = 2 فتكون المشتقة عندها غير معرفة، وبما أن 2 تنتمي لمجال الدالة فإن النقطة (2, 0) هي نقطة حرجة لمنحنى الدالة (مماس رأسي).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: