حساب المثلثات: مفهوم الزاوية الموجهة، الوضع القياسي، والتحويل بين القياسين الستيني والدائري
تعد «الزاوية الموجهة» حجر الأساس في حساب المثلثات الحديث؛ حيث لا نكتفي بمقدار الانفراج بين الضلعين كما في الهندسة الكلاسيكية، بل نحدد اتجاه الدوران من الضلع الابتدائي إلى الضلع النهائي. إذا كان الدوران ضد عقارب الساعة كان القياس موجباً، وإذا كان مع عقارب الساعة كان القياس سالباً. وتكون الزاوية في «الوضع القياسي» إذا كان رأسها نقطة الأصل وضلعها الابتدائي ينطبق على الاتجاه الموجب لمحور السينات. وفي هذا الدرس نكتشف القياس الدائري (الراديان) وعلاقته بطول القوس المقابل ونصف قطر الدائرة عبر القانون الخالد: ل = نق × θ rad، وكيفية التحويل بدقة تامة بين النظامين الستيني والدائري.
1. الزاوية الموجهة والوضع القياسي
المفاهيم الهندسية الأساسية:
- الزاوية الموجهة: زوج مرتب من شعاعين لهما نفس نقطة البداية (الرأس): (الضلع الابتدائي، الضلع النهائي).
- إشارة القياس:
• موجب (+): الدوران عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
• سالب (-): الدوران في اتجاه حركة عقارب الساعة. - شروط الوضع القياسي:
1. رأس الزاوية هو نقطة الأصل (0، 0).
2. ضلعها الابتدائي ينطبق على الجزء الموجب لمحور السينات (و س). - الزوايا المتكافئة: الزوايا الموجهة في الوضع القياسي التي تشترك في نفس الضلع النهائي، قياساتها: θ + ن × 360° (حيث ن ∈ ℤ).
2. القياس الدائري وطول القوس
الراديان والعلاقة الرياضية الأساسية:
- الزاوية النصف قطرية (1 راديان): الزاوية المركزية التي تحصر قوساً طوله يساوي نصف قطر دائرته (ل = نق).
- العلاقة المحورية: θrad = ل / نق ⇒ ل = نق × θrad ⇒ نق = ل / θrad.
- قانون التحويل الذهبي: س° / 180° = θrad / π
• للتحويل إلى راديان: θrad = (س° × π) / 180°.
• للتحويل إلى ستيني: س° = (θrad × 180°) / π. - محيط الدائرة: 2 π نق | مساحة الدائرة: π نق2.
مسائل تطبيقية ونماذج حل نموذجية:
الحل: نحول القياس الستيني إلى دائري: θrad = (135 × π) / 180 = 3π / 4 ≈ 2.356 راديان. طول القوس: ل = نق × θrad = 8 × (3π / 4) = 6π ≈ 18.8 سم.
الحل: نق = 20 / 2 = 10 سم. θrad = ل / نق = 15.7 / 10 = 1.57 راديان (وهي تعادل π/2). القياس الستيني: س° = (1.57 × 180) / 3.14 = 90°.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: