دائرة الوحدة، إحداثيات نقطة التقاطع، والدوال المثلثية الأساسية ومقلوباتها
تعتبر «دائرة الوحدة» أعظم أداة هندسية لتعريف وتفسير الدوال المثلثية لجميع الزوايا الحقيقية. وهي دائرة مركزها نقطة الأصل (0، 0) وطول نصف قطرها وحدة الأطوال الواحدة (نق = 1)، معادلتها الجبرية الخالدة: س2 + ص2 = 1. إذا قطع الضلع النهائي لزاوية موجهة في الوضع القياسي دائرة الوحدة في النقطة ب(س، ص)، فإن الإحداثي السيني يمثل تماماً جيب تمام الزاوية (جتا θ = س)، والإحداثي الصادي يمثل جيب الزاوية (جا θ = ص)، ونسبة ص إلى س تمثل ظل الزاوية (ظا θ = ص / س حيث س ≠ 0). ومن هذه النسب الثلاث تنبثق مقلوباتها: القاطع (قا)، قاطع التمام (قتا)، وظل التمام (ظتا)، لتكتمل المنظومة المثلثية الشاملة.
1. دائرة الوحدة والنقطة المثلثية
المعادلة والنسب الأساسية:
- دائرة الوحدة: س2 + ص2 = 1.
- النقطة المثلثية ب(س، ص):
• جتا θ = س
• جا θ = ص
• ظا θ = ص / س = جا θ / جتا θ (س ≠ 0) - متطابقة فيثاغورس الذهبية: جا2 θ + جتا2 θ = 1.
- مدى الجا والجتا: -1 ≤ جا θ ≤ 1 ، -1 ≤ جتا θ ≤ 1.
2. مقلوبات الدوال وإشارات الأرباع
المقلوبات وقاعدة إشارات الأرباع (كل - جا - ظا - جتا):
- مقلوبات الدوال المثلثية:
• قتا θ = 1 / جا θ = 1 / ص (مقلوب الجيب)
• قا θ = 1 / جتا θ = 1 / س (مقلوب جيب التمام)
• ظتا θ = 1 / ظا θ = س / ص (مقلوب الظل) - إشارات الدوال في الأرباع الأربعة:
• الربع الأول (0 إلى 90°): جميع الدوال ومقلوباتها موجبة (+).
• الربع الثاني (90° إلى 180°): الجا وقتا فقط موجبان (+).
• الربع الثالث (180° إلى 270°): الظا وظتا فقط موجبان (+).
• الربع الرابع (270° إلى 360°): الجتا وقا فقط موجبان (+).
مسائل تطبيقية محلولة:
الحل: س = -3/5، ص = 4/5.
جتا θ = س = -3/5 ⇒ قا θ = -5/3.
جا θ = ص = 4/5 ⇒ قتا θ = 5/4.
ظا θ = ص/س = (4/5)/(-3/5) = -4/3 ⇒ ظتا θ = -3/4.
الحل: θ في الربع الثالث (الجتا سالب والظا موجب).
جتا2 θ = 1 - (-12/13)2 = 1 - 144/169 = 25/169 ⇒ جتا θ = -5/13.
ظا θ = جا θ / جتا θ = (-12/13) / (-5/13) = 12/5.
المطلوب = 5 × (12/5) + 13 × (-5/13) = 12 - 5 = 7.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: