الصف الأول الثانوي - رياضيات
الوحدة الثانية: حساب المثلثات وتطبيقات الهندسة المستوية
التناسب في المثلث، نظرية تاليس العامة والخاصة، وتطبيقات التناسب والدائرة وقوة النقطة
انقر على أي جملة للاستماع إليها مباشرة 👆
تتوج نظرية «تاليس» موضوعات التناسب الهندسي؛ حيث تنص على أنه إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية، فإن أطوال القطع الناتجة على أحد القاطعين تكون متناسبة مع أطوال القطع المناظرة لها على القاطع الآخر. وتعد هذه النظرية مفتاحاً لحل أعقد المسائل الهندسية وتقسيم القطع المستقيمة بنسب محددة من الداخل والخارج. كما يمتد التناسب إلى الدائرة من خلال تقاطع وترين داخل الدائرة أو خارجها، ومفهوم «قوة نقطة بالنسبة لدائرة»: قم(أ) = (أ م)2 - نق2، والتي تحدد موقع النقطة بالنسبة للدائرة ومربع طول القطعة المماسة.
1. نظرية تاليس والتناسب
النص والتطبيقات الرياضية:
- نظرية تاليس العامة: إذا قطع مستقيمان عدة مستقيمات متوازية، فإن: أ ب / ب ج = د هـ / هـ و.
- نظرية تاليس الخاصة: إذا كانت أطوال قطع أحد القواطع متساوية، فإن أطوال قطع أي قاطع آخر تكون متساوية أيضاً.
- منصف الزاوية في المثلث:
• المنصف الداخلي للزاوية أ يقسم القاعدة ب ج: ب د / د ج = أ ب / أ ج.
• المنصفان الداخلي والخارجي لنفس الزاوية في المثلث متعامدان.
2. تطبيقات التناسب في الدائرة وقوة نقطة
تقاطع الأوتار وقوة النقطة قم(أ):
- تقاطع وترين داخل دائرة: هـ أ × هـ ب = هـ ج × هـ د.
- تقاطع قاطعين خارج دائرة: هـ أ × هـ ب = هـ ج × هـ د = (هـ مـاس)2.
- قوة نقطة بالنسبة لدائرة: قم(أ) = أ م2 - نق2:
• قم(أ) > 0 ⇔ أ تقع خارج الدائرة، وطول المماس المرسوم = √قم(أ).
• قم(أ) = 0 ⇔ أ تقع على الدائرة.
• قم(أ) < 0 ⇔ أ تقع داخل الدائرة.
مسائل تدريبية وتطبيقات عملية:
مسألة 1: نقطة أ تبعد 13 سم عن مركز دائرة نصف قطرها 5 سم. احسب قوة النقطة أ بالنسبة للدائرة وطول المماس المرسوم منها للدائرة.
الحل: أ م = 13 سم، نق = 5 سم.
قوة النقطة: قم(أ) = أ م2 - نق2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144.
بما أن القوة موجبة، فإن أ خارج الدائرة.
طول المماس المرسوم من أ للدائرة = √قم(أ) = √144 = 12 سم.
الحل: أ م = 13 سم، نق = 5 سم.
قوة النقطة: قم(أ) = أ م2 - نق2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144.
بما أن القوة موجبة، فإن أ خارج الدائرة.
طول المماس المرسوم من أ للدائرة = √قم(أ) = √144 = 12 سم.
مسألة 2: وتران أ ب و ج د يتقاطعان في نقطة هـ داخل دائرة. فإذا كان هـ أ = 3 سم، هـ ب = 8 سم، هـ ج = 4 سم، فأوجد طول هـ د.
الحل: هـ أ × هـ ب = هـ ج × هـ د ⇒ 3 × 8 = 4 × هـ د ⇒ 24 = 4 هـ د ⇒ هـ د = 6 سم.
الحل: هـ أ × هـ ب = هـ ج × هـ د ⇒ 3 × 8 = 4 × هـ د ⇒ 24 = 4 هـ د ⇒ هـ د = 6 سم.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
نظرية تاليس
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
توازي مستقيمات يولد أجزاء متناسبة على أي قواطع لها
💡 إضاءة وتوضيح: أساس تقسيم القطع المستقيمة وتطبيقات الهندسة التحليلية
قوة نقطة بالنسبة لدائرة
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المقدار الجبري أ م² - نق² لتحديد موضع النقطة وبعدها وطول مماسها
💡 إضاءة وتوضيح: رمزها ق_م(أ)
المحور الأساسي لدائرتين
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
المستقيم الذي تتساوى عليه قوى النقاط بالنسبة للدائرتين
💡 إضاءة وتوضيح: يكون عمودياً على خط المركزين
منصف الزاوية
اضغط لاكتشاف الدلالة والشرح 👆
شعاع يقسم زاوية المثلث إلى زاويتين متطابقتين ويقسم الضلع المقابل بنسبة الضلعين المجاورين
💡 إضاءة وتوضيح: ب د / د ج = أ ب / أ ج
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً:
1
إذا كانت نقطة أ تقع خارج دائرة م نصف قطرها 6 سم، وكان طول القطعة المماسة المرسومة من أ إلى الدائرة يساوي 8 سم، فإن بعد النقطة أ عن مركز الدائرة أ م يساوي:
2
إذا كانت قوة النقطة أ بالنسبة للدائرة م هي قم(أ) = -25، فإن النقطة أ تقع:
3
إذا قطع قاطع دائرة في نقطتين أ، ب بحيث هـ أ = 4 سم، أ ب = 5 سم (هـ تقع خارج الدائرة)، فإن طول المماس هـ ج المرسوم من هـ للدائرة يساوي:
4
في المثلث أ ب ج، أ د ينصف زاوية أ من الداخل ويقطع ب ج في د، فإذا كان أ ب = 6 سم، أ ج = 9 سم، ب د = 4 سم، فإن طول د ج يساوي:
5
الزاوية المحصورة بين المنصف الداخلي والمنصف الخارجي لنفس الزاوية في أي مثلث تكون:
6
إذا كانت المستقيمات ل1 // ل2 // ل3 قطعت بقاطعين فكانت أجزاء القاطع الأول 3 سم و 5 سم، وأجزاء القاطع الثاني س و 15 سم على الترتيب، فإن س تساوي:
7
إذا كانت النقطة أ تقع على الدائرة م، فإن قم(أ) تساوي:
8
في الدائرة م، وتران أ ب و ج د يتقاطعان في هـ خارج الدائرة، فإذا كان هـ أ = 3 سم، هـ ب = 12 سم، هـ ج = 4 سم، فإن هـ د يساوي:
🎉 تهانينا يا بطل! أتممت جميع محطات الدرس بنجاح باهر وتستحق وسام التميز!