الزوايا المنتسبة (180 ± θ، 360 - θ، 90 ± θ) والحل العام للمعادلات المثلثية
«الزوايا المنتسبة» هي زوايا يرتبط قياسها بزاوية حادة θ، بحيث تتساوى قيمهما المثلثية عدداً وقد تختلف إشارة تبعاً للربع الذي تقع فيه الزاوية. تُمكننا هذه القواعد العبقرية من إرجاع حساب أي دالة مثلثة لزاوية منفرجة أو منعكسة إلى زاوية حادة في الربع الأول. تنقسم الزوايا المنتسبة إلى فئتين: فئة لا تغير الدالة (180° ± θ، 360° - θ ) مع مراعاة إشارة الربع، وفئة تحول الدالة إلى متممتها التائية (90° ± θ، 270° ± θ ) حيث تحول الجا إلى جتا والظا إلى ظتا مع ضبط الإشارة المسبقة. كما نتناول الحل العام للمعادلات المثلثية الدورية بإضافة ن × 2π أو ن × π.
1. قواعد الزوايا المنتسبة
قواعد (180°، 360°) وقواعد (90°، 270°):
- محور السينات (180° ± θ ، 360° - θ ، -θ): لا يغير اسم الدالة (الجا تبقى جا)، والإشارة تحدد حسب الربع الأصلي:
• جا (180° - θ) = + جا θ | جتا (180° - θ) = - جتا θ
• جا (180° + θ) = - جا θ | ظا (180° + θ) = + ظا θ
• جتا (-θ) = + جتا θ (دالة زوجية تمتص الإشارة السالبة). - محور الصادات (90° ± θ ، 270° ± θ): يغير التاء (جا ↔ جتا ، ظا ↔ ظتا ، قا ↔ قتا) مع تحديد الإشارة قبل التغيير:
• جا (90° - θ) = + جتا θ | جتا (90° - θ) = + جا θ
• جا (90° + θ) = + جتا θ | جتا (90° + θ) = - جا θ.
2. الحل العام للمعادلات المثلثية
إيجاد الحل العام وإضافة الدورات الكاملة:
- معادلة الجا وجتا: إذا كان جا α = جتا β ⇒ α ± β = 90° + 360° ن (أو π/2 + 2πن).
- معادلة القتا وقا: إذا كان قتا α = قا β ⇒ α ± β = 90° + 360° ن.
- معادلة الظا وظتا: إذا كان ظا α = ظتا β ⇒ α + β = 90° + 180° ن (أو π/2 + πن).
- القيم الخاصة:
• جا θ = 0 ⇒ θ = ن × π
• جتا θ = 0 ⇒ θ = π/2 + ن × π.
مسائل تطبيقية محلولة:
الحل:
• جا 150° = جا (180° - 30°) = جا 30° = 1/2.
• جتا 240° = جتا (180° + 60°) = - جتا 60° = -1/2.
• ظا 315° = ظا (360° - 45°) = - ظا 45° = -1.
المقدار = (1/2) + (-1/2) - (-1) = 0 + 1 = 1.
الحل: 2س ± س = 90° + 360° ن:
1) 2س + س = 90° + 360° ن ⇒ 3س = 90° + 360° ن ⇒ س = 30° + 120° ن (π/6 + 2πن/3).
2) 2س - س = 90° + 360° ن ⇒ س = 90° + 360° ن (π/2 + 2πن).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: