الهندسة المستوية: مفهوم التشابه، شروط تشابه مضلعين، وحالات تشابه المثلثات الثلاث
يمثل «التشابه» مفهوماً هندسياً بارعاً يجمع بين الحفاظ على الشكل والتكبير أو التصغير بنسبة ثابتة تسمى «معامل التشابه (ك)». يتشابه مضلعان إذا تساوت قياسات زواياهما المتناظرة وتناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة. غير أن المثلثات تمتاز بخصوصية فريدة؛ إذ يكفي تحقق أحد الشرطين فقط دون الآخر! في هذا الدرس نتطرق إلى الحالات الثلاث لتشابه المثلثات: 1) تطابق زاويتين متناظرتين (AA). 2) تناسب جميع الأضلاع المتناظرة (SSS). 3) تناسب طولي ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما (SAS). كما نستنتج العلاقة بين مساحتي ومحيطي مثلثين متشابهين ونظريات إقليدس.
1. حالات تشابه المثلثات الثلاث
الشروط الكافية لتشابه مثلثين:
- الحالة الأولى (زاويتان - AA): يتشابه مثلثان إذا تطابقت زاويتان في أحدهما مع زاويتين مناظرتين في الآخر.
• نتيجة هامة: المستقيم الموازي لأحد أضلاع مثلث ويقطع الآخرين يحدد مثلثاً يشابه المثلث الأصلي. - الحالة الثانية (تناسب الأضلاع - SSS): يتشابه مثلثان إذا تناسبت أطوال أضلاعهما المتناظرة: أ ب / د هـ = ب ج / هـ و = أ ج / د و = ك.
- الحالة الثالثة (ضلعان وزاوية محصورة - SAS): يتشابه مثلثان إذا تناسب طولا ضلعين وتطابقت الزاوية المحصورة بينهما.
2. النسب بين المحيطات والمساحات
العلاقة بين معامل التشابه والأبعاد والمساحة:
- النسبة بين المحيطين: محيط المثلث الأول / محيط المثلث الثاني = ك (معامل التشابه).
- النسبة بين المساحتين: مساحة المثلث الأول / مساحة المثلث الثاني = ك2 (مربع نسبة التشابه).
- معامل التشابه (ك):
• ك > 1: تكبير.
• 0 < ك < 1: تصغير.
• ك = 1: تطابق تام.
مسائل هندسية محلولة:
الحل: محيط المثلث الأول = 4 + 6 + 8 = 18 سم.
معامل التشابه ك = محيط الثاني / محيط الأول = 54 / 18 = 3.
أطوال أضلاع المثلث الآخر هي: 4 × 3 = 12 سم، 6 × 3 = 18 سم، 8 × 3 = 24 سم.
الحل: النسبة بين المساحتين = ك2 = 9 / 25 ⇒ معامل التشابه ك = 3 / 5.
محيط الأصغر / محيط الأكبر = 3 / 5 ⇒ 60 / محيط الأكبر = 3 / 5 ⇒ محيط الأكبر = (60 × 5) / 3 = 100 سم.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: