الوحدة الأولى - الدرس 2: الاشتقاق الضمني للدوال غير الصريحة والاشتقاق البارامتري وتطبيقاتهما في المشتقات العليا
يُمثّل الاشتقاق الضمني والبارامتري القفزة النوعية في التعامل مع المنحنيات الهندسية المعقدة التي يتعذر فيها فصل المتغير التابع (ص) صراحة بدلالة المتغير المستقل (س). في الاشتقاق الضمني للمعادلات من الصورة د(س، ص) = 0 (كدائرة س² + ص² = نق²، أو قطع ناقص، أو منحنيات درجات عليا)، يتم اشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س، مع مراعاة تطبيق قاعدة السلسلة عند اشتقاق أي حد يحتوي على ص بضربه في المشتقة د ص / د س، ثم تجميع الحدود الحاوية للمشتقة في طرف وعزلها. أما في الاشتقاق البارامتري، فيرتبط المتغيران س و ص بمتغير وسيط ثالث يسمى البارامتر ن أو θ، حيث س = د(ن) و ص = ر(ن)، وتُحسب المشتقة الأولى بقسمة د ص / د ن على د س / د ن. وتتألق المهارة الرياضية في حساب المشتقة الثانية بارامترياً بتطبيق قاعدة السلسلة مجدداً: د²ص / دس² = د/دن [دص/دس] × د ن / د س.
1. المنهجية الجبرية للاشتقاق الضمني
في الدالة الضمنية د(س، ص) = 0 نشتق كل حد بالنسبة إلى س:
-
اشتقاق قوى ص:
د/دس [صⁿ] = n صⁿ⁻¹ · (د ص / د س) -
اشتقاق حاصل ضرب س في ص:
د/دس [س · ص] = س · (د ص / د س) + ص · (1) -
عزل المشتقة:
نجمع الحدود الحاوية علىد ص / د سفي الطرف الأيمن، وننقل باقي الحدود إلى الطرف الأيسر، ثم نأخذ المشتقة عاملاً مشتركاً ونقسم على معاملها.
2. الاشتقاق البارامتري والمشتقة الثانية الخطيرة
إذا كانت س = ق(ن) ، ص = ر(ن) حيث ن البارامتر الوسيط:
المشتقة الثانية البارامترية (تطبيق السلسلة):
3. معدل تغير دالة بالنسبة لدالة أخرى
لحساب معدل تغير دالة ع = د(س) بالنسبة لدالة أخرى ل = ر(س)، نعتبر س كبارامتر وسيط:
د ع / د ل = (د ع / د س) ÷ (د ل / د س) = د'(س) / ر'(س)
تمرين 1: اشتقاق ضمني لمعادلة دائرة
المسألة: أوجد ميل المماس للمنحنى: س² + ص² - 6س + 8ص = 0 عند النقطة (0، 0).
• نشتق طرفي المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى س:
• 2س + 2ص ص' - 6 + 8 ص' = 0.
• ص' (2ص + 8) = 6 - 2س ⇐ ص' = (6 - 2س) / (2ص + 8) = (3 - س) / (ص + 4).
• عند النقطة (0، 0): ص' = (3 - 0) / (0 + 4) = 3 / 4.
تمرين 2: المشتقة الثانية لمعادلة بارامترية
المسألة: إذا كانت س = ن² + 3 و ص = ن³ - 1، فأوجد د²ص / دس² عند ن = 1.
• د س / د ن = 2ن ، د ص / د ن = 3ن².
• د ص / د س = (3ن²) / (2ن) = 1.5 ن.
• د²ص / دس² = د/دن [1.5 ن] × (د ن / د س) = 1.5 × [1 / (2ن)] = 1.5 / (2ن) = 3 / (4ن).
• عند ن = 1: د²ص / دس² = 3 / 4.
تمرين 3: معدل تغير دالة بالنسبة لدالة مثلثية
المسألة: أوجد معدل تغير جا³ س بالنسبة إلى جتا³ س عند س = π / 4.
• نفرض ع = جا³ س ⇐ د ع / د س = 3 جا² س جتا س.
• نفرض ل = جتا³ س ⇐ د ل / د س = 3 جتا² س (- جا س) = -3 جا س جتا² س.
• د ع / د ل = (د ع / د س) ÷ (د ل / د س) = [3 جا² س جتا س] / [-3 جا س جتا² س] = - جا س / جتا س = - ظا س.
• عند س = π / 4: د ع / د ل = - ظا(π/4) = -1.
تمرين 4: إثبات علاقة ضمنية مع المشتقة الثانية
المسألة: إذا كانت س² + ص² = 25، فأثبت أن: ص ص'' + (ص')² + 1 = 0.
• بالاشتقاق بالنسبة إلى س: 2س + 2ص ص' = 0 ⇐ س + ص ص' = 0.
• بالاشتقاق مرة ثانية بالنسبة إلى س:
• مشتقة س هي 1.
• مشتقة (ص ص') حاصل ضرب: ص · ص'' + ص' · ص' = ص ص'' + (ص')².
• إذن: 1 + ص ص'' + (ص')² = 0 ⇐ ص ص'' + (ص')² + 1 = 0 (وهو المطلوب).
تمرين 5: اشتقاق بارامتري بالدوال المثلثية
المسألة: إذا كانت س = أ جتا³ θ و ص = أ جا³ θ، فأوجد د ص / د س بدلالة θ.
• د س / د θ = 3 أ جتا² θ (- جا θ) = -3 أ جتا² θ جا θ.
• د ص / د θ = 3 أ جا² θ (جتا θ) = 3 أ جا² θ جتا θ.
• د ص / د س = (3 أ جا² θ جتا θ) / (-3 أ جتا² θ جا θ) = - جا θ / جتا θ = - ظا θ.
تمرين 6: اشتقاق دالة ضمنية أسية كسرية
المسألة: إذا كانت س ص = 12، فأثبت أن: س² ص'' - 2ص = 0.
• ص = 12 س⁻¹.
• ص' = -12 س⁻².
• ص'' = 24 س⁻³ = 24 / س³.
• الطرف الأيمن: س² ص'' = س² (24 / س³) = 24 / س = 2 (12 / س) = 2ص.
• إذن: س² ص'' - 2ص = 0.
تمرين 7: إيجاد نقط المماس الأفقي لمنحنى ضمني
المسألة: أوجد النقط الواقعة على المنحنى: س² + 4ص² = 16 والتي عندها المماس يكون أفقياً (موازياً لمحور السينات).
• نشتق ضمنياً: 2س + 8ص ص' = 0 ⇐ ص' = - 2س / (8ص) = - س / (4ص).
• المماس أفقي يعني ميله = صفر: ص' = 0 ⇐ - س / (4ص) = 0 ⇐ س = 0.
• بالتعويض في معادلة المنحنى: 0 + 4ص² = 16 ⇐ ص² = 4 ⇐ ص = ± 2.
• إذن النقط هي: (0، 2) و (0، -2).
تمرين 8: المشتقة الثانية للدالة الضمنية عند نقطة
المسألة: إذا كانت س² - ص² = 9، فأوجد قيمة د²ص / دس² عند النقطة (5، 4).
• 2س - 2ص ص' = 0 ⇐ س - ص ص' = 0 ⇐ ص' = س / ص = 5 / 4.
• بالاشتقاق ثانية: 1 - [(ص ص'' + (ص')²)] = 0 ⇐ ص ص'' = 1 - (ص')².
• ص ص'' = 1 - (5/4)² = 1 - 25/16 = - 9/16.
• ص'' = (- 9/16) ÷ 4 = - 9 / 64.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: