الوحدة الأولى - الدرس 3: المشتقات ذات الرتب العليا (المشتقة الثانية والثالثة والنونية) وإثبات المعادلات التفاضلية
تُمثّل المشتقات العليا للدالة امتداداً تحليلياً فائق الأهمية في حساب التفاضل والتكامل، حيث تتجاوز دراسة معدل التغير اللحظي البسيط (المشتقة الأولى) إلى فحص معدل تغير هذا المعدل نفسه عبر المشتقة الثانية ص'' والثالثة ص''' وحتى المشتقة النونية ص^(ن). تلعب المشتقة الثانية دوراً حاسماً في دراسة تقوس المنحنيات وتحديد فترات التحدب لأعلى ولأسفل ونقط الانقلاب، بالإضافة إلى تطبيقاتها الفيزيائية الجوهرية في حساب العجلة والتسارع كدالة للزمن. وتتطلب أسئلة التفكير العليا للثانوية العامة مهارة بالغة في إثبات العلاقات والمعادلات التفاضلية المعقدة، والقدرة على استنتاج النمط الرياضي العام والمفكوكات النونية للمشتقات المتكررة لدوال الجيب وجيب التمام ودوال القوى ومقلوبات كثيرات الحدود، للوصول إلى أعلى درجات الإتقان التحليلي والبرهاني المعتمد رسمياً.
1. رموز ومفاهيم المشتقات ذات الرتب العليا
إذا كانت ص = د(س) قابلة للاشتقاق عدة مرات، فإن المشتقات تتوالى:
-
المشتقة الأولى:
ص' = د'(س) = د ص / د س(تمثل ميل المماس أو السرعة). -
المشتقة الثانية:
ص'' = د''(س) = د²ص / دس²(تمثل التحدب والانقلاب أو العجلة). -
المشتقة الثالثة:
ص''' = د'''(س) = د³ص / دس³. -
المشتقة النونية:
ص⁽ⁿ⁾ = دⁿص / دسⁿ(رمز المشتقة بين قوسين للتمييز عن الأس).
2. الأنماط العامة للمشتقة النونية
| الدالة الأصلية ص | المشتقة من الرتبة ن ص⁽ⁿ⁾ | ملاحظات هامة |
|---|---|---|
سⁿ |
مضروب ن = n! |
المشتقة (ن + 1) تساوي صفراً دائماً |
1 / س = س⁻¹ |
(-1)ⁿ · n! / سⁿ⁺¹ |
تناوب الإشارة السالبة والموجبة |
جا(أ س) |
أⁿ جا(أ س + ن · π/2) |
دورة تكرارية رباعية كل 4 اشتقاقات |
جتا(أ س) |
أⁿ جتا(أ س + ن · π/2) |
دورة تكرارية رباعية |
3. استراتيجية إثبات المعادلات التفاضلية
لإثبات علاقة تفاضلية كبرى معطاة تحتوي على ص'' و ص' و ص نتبع إحدى طريقتين:
الطريقة 1: الاشتقاق الضمني المتتالي المباشر
اشتقاق العلاقة الأصلية مرتين مع تبسيط وتنظيم الحدود والتخلص من الكسور والجذور بضرب الطرفين، فيظهر المطلوب مباشرة كناتج طبيعي للاشتقاق المنظم.
الطريقة 2: التعويض في الطرف الأيمن
حساب قيمة ص' وقيمة ص'' كلاً على حدة، ثم التعويض بهما في الطرف الأيمن للمعادلة المطلوبة، وإجراء الاختصارات الجبرية للوصول للطرف الأيسر (صفر).
تمرين 1: إثبات علاقة تفاضلية لدالة ظل
المسألة: إذا كانت ص = ظا س، فأثبت أن: ص'' = 2 ص (1 + ص²).
• ص' = قا² س = 1 + ظا² س = 1 + ص².
• بالاشتقاق مرة ثانية بالنسبة إلى س:
• ص'' = د/دس [1 + ص²] = 2 ص · ص'.
• بالتعويض عن ص' بـ (1 + ص²):
• ص'' = 2 ص (1 + ص²) (وهو المطلوب إثباته تماماً).
تمرين 2: إيجاد المشتقة الرابعة لدالة جيبية
المسألة: إذا كانت ص = جا(3س)، فأوجد المشتقة الرابعة ص⁽⁴⁾ بدلالة ص.
• المشتقة الأولى: ص' = 3 جتا(3س).
• المشتقة الثانية: ص'' = -9 جا(3س) = -3² جا(3س).
• المشتقة الثالثة: ص''' = -27 جتا(3س) = -3³ جتا(3س).
• المشتقة الرابعة: ص⁽⁴⁾ = 81 جا(3س) = 3⁴ جا(3س) = 81 ص.
تمرين 3: المشتقة النونية لدالة كثيرة حدود
المسألة: إذا كانت د(س) = س⁶ - 5س⁴ + 2، فأوجد: (1) د⁽⁶⁾(س)، (2) د⁽⁷⁾(س).
• أعلى قوة هي س⁶: مشتقتها السادسة تساوي مضروب 6 (6!):
• د⁽⁶⁾(س) = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 (مقدار ثابت).
• المشتقة السابعة د⁽⁷⁾(س) = مشتقة المقدار الثابت (720) = 0.
تمرين 4: إثبات تفاضلي لدالة قاطع التمام
المسألة: إذا كانت ص = قتا س، فأثبت أن: ص'' = ص (2ص² - 1) في حالة ظتا² س = ص² - 1.
• ص' = - قتا س ظتا س = - ص ظتا س.
• ص'' = - [ص (- قتا² س) + ظتا س (ص')] = ص قتا² س - ظتا س (- ص ظتا س).
• ص'' = ص قتا² س + ص ظتا² س = ص (قتا² س + ظتا² س).
• قتا² س = ص² ، وظتا² س = ص² - 1.
• ص'' = ص (ص² + ص² - 1) = ص (2ص² - 1) (وهو المطلوب).
تمرين 5: إيجاد المشتقة رقم 20 لدالة جيب التمام
المسألة: إذا كانت ص = جتا(س)، فأوجد المشتقة رقم 20 (ص⁽²⁰⁾).
• الدورة التكرارية لمشتقات الدوال الدائرية تتكرر كل 4 اشتقاقات كاملة.
• بما أن العدد 20 يقبل القسمة على 4 بدون باقٍ (20 / 4 = 5 دورات كاملة).
• فإن المشتقة العشرين تعود مطابقة للدالة الأصلية تماماً.
• إذن: ص⁽²⁰⁾ = جتا(س) = ص.
تمرين 6: إثبات تفاضلي لدالة جذر تربيعي
المسألة: إذا كانت ص = √(2س + 1)، فأثبت أن: (2س + 1) ص'' + (ص')² = 0.
• بتربيع الطرفين: ص² = 2س + 1.
• بالاشتقاق بالنسبة إلى س: 2ص ص' = 2 ⇐ ص ص' = 1.
• بالاشتقاق مرة أخرى: ص ص'' + ص' ص' = 0 ⇐ ص ص'' + (ص')² = 0.
• بالضرب في ص: ص² ص'' + ص (ص')²... ولكن من الخطوة الأولى ص ص' = 1 ⇐ ص' = 1/ص.
• بالتعويض عن ص² بـ (2س + 1): (2س + 1) ص'' + (ص')² = 0 (متحققة فوراً).
تمرين 7: المشتقة الثالثة لدالة تكعيبية حاصل ضرب
المسألة: أوجد المشتقة الثالثة للدالة: ص = س³ (س - 2) عند س = 1.
• نفك القوس أولاً: ص = س⁴ - 2س³.
• ص' = 4س³ - 6س².
• ص'' = 12س² - 12س.
• ص''' = 24س - 12.
• عند س = 1: ص''' = 24(1) - 12 = 12.
تمرين 8: انعدام المشتقة العليا لدوال كثيرات الحدود
المسألة: دالة كثيرة حدود من الدرجة الخامسة د(س) = أ س⁵ + ب س⁴ + ... ، ما هي قيمة د⁽⁶⁾(س)؟ وما هي قيمة د⁽⁵⁾(س)؟
• المشتقة من رتبة تساوي درجة كثيرة الحدود (الخامسة): د⁽⁵⁾(س) = أ × 5! = 120 أ (مقدار ثابت).
• المشتقة من أي رتبة أعلى من درجة كثيرة الحدود (السادسة فما فوق): د⁽⁶⁾(س) = 0 دائماً.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: