الوحدة الأولى - الدرس 4: معادلتا المماس والعمودي لمنحنى الدالة ونقط التماس والتفسير الهندسي للمشتقة
تُشكّل دراسة معادلتي المماس والعمودي لمنحنى الدالة التطبيق الهندسي الأبرز والأكثر حضوراً لحساب التفاضل والتكامل في اختبارات الثانوية العامة وفق النماذج الوزارية المعتمدة. يعتمد هذا الموضوع على الحقيقة الهندسية الجوهرية بأن المشتقة الأولى للدالة د'(س) عند نقطة التماس (س₁، ص₁) تمثل التحديد الدقيق لميل الخط المماس (Slope m) للمنحنى عند تلك النقطة، والذي يساوي ظل الزاوية الموجبة ظا(θ) التي يصنعها المماس مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. ومن خلال ميل المماس m وميل الخط العمودي عليه (-1/m)، تُصاغ معادلتا الخطين المستقيمين بدقة متناهية: ص - ص₁ = م (س - س₁). كما يتطلب التفوق في هذا الدرس إتقان إيجاد نقط التماس عند شروط هندسية خاصة؛ كأن يكون المماس أفقياً (م = 0)، أو رأسياً موازياً لمحور الصادات (م غير معرف)، أو موازياً لخط مستقيم معلوم، أو عمودياً عليه، بالإضافة إلى حساب مساحات المثلثات المتكونة بين المماس والعمودي ومحاور الإحداثيات.
1. صياغة معادلتي المماس والعمودي
إذا كانت (س₁، ص₁) نقطة واقعة على منحنى الدالة ص = د(س)، فإن ميل المماس هو م = د'(س₁):
-
معادلة المماس:
ص - ص₁ = م (س - س₁) -
معادلة العمودي على المماس (عند م ≠ 0):
ميل العمودي =- 1 / م
ص - ص₁ = (- 1 / م) (س - س₁)
2. شروط توازي وتعامد المماس مع المستقيمات
لمستقيم معلوم معادلته أ س + ب ص + جـ = 0 يكون ميله م_خط = - أ / ب:
| حالة المماس | الشرط الرياضي | التطبيق لإيجاد س₁ |
|---|---|---|
| أفقي (موازٍ لمحور السينات) | م = د'(س) = 0 |
نساوي البسط بالصفر |
| رأسي (موازٍ لمحور الصادات) | م = غير معرف (1 / 0) |
نساوي المقام بالصفر |
| يوازي مستقيماً معلوماً | د'(س) = م_خط |
تساوي الميلين |
| يعامد مستقيماً معلوماً | د'(س) × م_خط = -1 |
د'(س) = - 1 / م_خط |
3. زاوية ميل المماس ومساحة المثلث المحصور
الزاوية التي يصنعها المماس مع الاتجاه الموجب لمحور السينات تحسب من: ظا θ = م. ولحساب مساحة المثلث المحصور بين المماس ومحوري الإحداثيات نوجد نقطتي تقاطع المماس مع محوري السينات (بوضع ص = 0) والصادات (بوضع س = 0)، فتكون المساحة: المساحة = ½ |س_قطع| × |ص_قطع|.
تمرين 1: معادلتا المماس والعمودي لدالة تربيعية
المسألة: أوجد معادلتي المماس والعمودي لمنحنى الدالة ص = س² - 4س + 5 عند النقطة (1، 2) الواقعة عليه.
• ص' = 2س - 4.
• ميل المماس عند س = 1: م = 2(1) - 4 = -2.
• معادلة المماس: ص - 2 = -2 (س - 1) ⇐ ص - 2 = -2س + 2 ⇐ 2س + ص - 4 = 0.
• ميل العمودي = - 1 / (-2) = ½.
• معادلة العمودي: ص - 2 = ½ (س - 1) ⇐ 2ص - 4 = س - 1 ⇐ س - 2ص + 3 = 0.
تمرين 2: إيجاد نقط التماس لمماس موازٍ لمستقيم
المسألة: أوجد نقط التماس على المنحنى ص = س³ - 3س + 2 والتي يكون عندها المماس موازياً للمستقيم 9س - ص + 7 = 0.
• ميل المستقيم المعلوم = - معامل س / معامل ص = - 9 / (-1) = 9.
• مشتقة المنحنى: ص' = 3س² - 3.
• بما أن المماس يوازي المستقيم: 3س² - 3 = 9 ⇐ 3س² = 12 ⇐ س² = 4 ⇐ س = ± 2.
• عند س = 2: ص = (2)³ - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4 ⇐ النقطة (2، 4).
• عند س = -2: ص = (-2)³ - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 ⇐ النقطة (-2، 0).
تمرين 3: معادلتا المماس والعمودي لدالة مثلثية
المسألة: أوجد معادلة العمودي للمنحنى ص = 3 جا(س) عند النقطة التي إحداثيها السيني س = π.
• عند س = π: ص = 3 جا(π) = 0. نقطة التماس هي (π، 0).
• ص' = 3 جتا(س).
• ميل المماس م = 3 جتا(π) = 3(-1) = -3.
• ميل العمودي = - 1 / (-3) = ⅓.
• معادلة العمودي: ص - 0 = ⅓ (س - π) ⇐ 3ص = س - π ⇐ س - 3ص - π = 0.
تمرين 4: زاوية ميل المماس مع محور السينات
المسألة: أوجد قياس الزاوية الموجبة التي يصنعها مماس المنحنى ص = 1 / (س - 1) مع الاتجاه الموجب لمحور السينات عند س = 2.
• ص = (س - 1)⁻¹ ⇐ ص' = - (س - 1)⁻² = - 1 / (س - 1)².
• عند س = 2: م = - 1 / (2 - 1)² = - 1.
• ظا θ = - 1 ⇐ الزاوية تقع في الربع الثاني.
• θ = 180° - 45° = 135° (أو 3π / 4 راديان).
تمرين 5: مساحة المثلث المحدود بالمماس ومحوري الإحداثيات
المسألة: أوجد مساحة المثلث المكون من مماس المنحنى س ص = 4 عند النقطة (2، 2) مع محوري الإحداثيات.
• ص = 4 / س ⇐ ص' = - 4 / س².
• ميل المماس عند (2، 2): م = - 4 / 2² = - 1.
• معادلة المماس: ص - 2 = -1 (س - 2) ⇐ ص - 2 = - س + 2 ⇐ س + ص = 4.
• التقاطع مع محور السينات (ص = 0): س = 4 ⇐ طول القاعدة = 4 وحدات.
• التقاطع مع محور الصادات (س = 0): ص = 4 ⇐ الارتفاع = 4 وحدات.
• مساحة المثلث = ½ × 4 × 4 = 8 وحدات مربعة.
تمرين 6: المماس الرأسي لمنحنى جذر تكعيبي
المسألة: بين هل للمنحنى ص = ³√(س - 3) + 1 مماس رأسي؟ وما هي نقطة التماس ومعادلته؟
• ص = (س - 3)^(1/3) + 1 ⇐ ص' = ⅓ (س - 3)^(-2/3) = 1 / [3 ³√(س - 3)²].
• يكون المماس رأسياً عندما يكون الميل غير معرف (المقام = 0):
• 3 ³√(س - 3)² = 0 ⇐ س - 3 = 0 ⇐ س = 3.
• عند س = 3: ص = ³√(0) + 1 = 1 ⇐ نقطة التماس هي (3، 1).
• معادلة المماس الرأسي هي: س = 3.
تمرين 7: مماس مشترك لمنحنيين متماسين
المسألة: أثبت أن المنحنيين ص₁ = س² و ص₂ = 2س - 1 متماسان عند نقطة مشتركة، وأوجد معادلة المماس المشترك.
• نوجد نقط التقاطع بمساواة الصادات: س² = 2س - 1 ⇐ س² - 2س + 1 = 0 ⇐ (س - 1)² = 0 ⇐ س = 1.
• عند س = 1: ص = 1. النقطة المشتركة هي (1، 1).
• ميل المنحنى الأول: م₁ = د ص₁ / د س = 2س = 2(1) = 2.
• ميل المنحنى الثاني: م₂ = د ص₂ / د س = 2.
• بما أن م₁ = م₂ = 2 عند النقطة المشتركة، فالمنحنيان متماسان.
• معادلة المماس المشترك: ص - 1 = 2(س - 1) ⇐ 2س - ص - 1 = 0.
تمرين 8: طول العمود الساقط من نقطة الأصل على المماس
المسألة: إذا كانت معادلة مماس منحنى هي 3س + 4ص - 20 = 0، فاحسب طول العمود الساقط من نقطة الأصل (0، 0) على هذا المماس.
• قانون طول العمود ل = |أ س₁ + ب ص₁ + جـ| / √(أ² + ب²).
• هنا أ = 3 ، ب = 4 ، جـ = -20 ، ونقطة الأصل (0، 0):
• ل = |3(0) + 4(0) - 20| / √(3² + 4²) = |-20| / √25 = 20 / 5 = 4 وحدات طول.
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: