الوحدة الأولى - الدرس 5: المعدلات الزمنية المرتبطة ومسائل التطبيقات الهندسية والفيزيائية والحركية
تُشكّل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة (Related Rates) قمة التطبيقات الرياضية والفيزيائية الحية لحساب التفاضل والتكامل في منهج الصف الثالث الثانوي. يعتمد هذا الدرس على نمذجة المواقف الواقعية المتحركة هندسياً وفيزيائياً، حيث ترتبط عدة متغيرات ببعضها بعلاقة هندسية (كنظرية فيثاغورس، أو تشابه المثلثات، أو قوانين الحجوم والمساحات للكرات والمخاريط والأسطوانات)، وتتغير جميع هذه المتغيرات تزامناً مع مرور الزمن (ن أو t). وتتلخص المنهجية الصارمة في تحديد الثوابت والمتغيرات بدقة، وبناء العلاقة الرياضية الأساسية، ثم اشتقاق طرفي المعادلة كلياً بالنسبة للزمن ن مع إعطاء كل متغير مشتقته الزمنية المقابلة (د س / د ن ، د ص / د ن ، د ح / د ن)، مع الانتباه الدقيق لقاعدة الإشارات: المعدل موجب في حالة التزايد والتمدد والاقتراب، وسالب في حالة التناقص والانكماش والتسرب والابتعاد وفق المعايير الوزارية المعتمدة.
1. الخطوات القياسية لحل مسائل المعدلات الزمنية
- 1. الرسم وتحديد المتغيرات والثوابت: نرسم شكلاً هندسياً يوضح الموقف، ونميز بين الثوابت (مثل طول سلم ثابت ل) والمتغيرات التي تتغير مع الزمن (مثل بعد طرف السلم عن الحائط س وبعده عن الأرض ص).
-
2. إيجاد العلاقة الهندسية الرابطة: نربط المتغيرات بقانون رياضي (فيثاغورس:
س² + ص² = ل²، أو حجم المخروط:ح = ⅓ π نق² ع، أو تشابه مثلثات). - 3. الاشتقاق بالنسبة للزمن ن: نشتق كل حد بالنسبة للزمن، ونعوض بالقيم اللحظية المعطاة عند اللحظة المحددة فقط بعد إتمام الاشتقاق (يحظر التعويض قبل الاشتقاق للمتغيرات).
2. القواعد الصارمة لإشارات المعدلات الزمنية
| الحالة الفيزيائية | إشارة المعدل الزمني | المعنى الفيزيائي |
|---|---|---|
| تمدد / تباعد / ملء / زيادة | موجبة (+ د س / د ن) | الكمية تزداد بمرور الزمن |
| انكماش / اقتراب / تسرب / تناقص | سالبة (- د س / د ن) | الكمية تقل بمرور الزمن |
| انزلاق طرف سلم مبتعداً | د س / د ن > 0 |
بعد السلم عن الحائط يزداد |
| هبوط الطرف العلوي للسلم | د ص / د ن < 0 |
ارتفاع الطرف العلوي يقل هبوطاً |
3. قوانين الحجوم والمساحات الشائعة في مسائل المعدلات
الكرة
ح = ⁴⁄₃ π نق³م = 4 π نق²
الأسطوانة الدائرية
ح = π نق² عم_جانبية = 2 π نق ع
المخروط الدائري
ح = ⅓ π نق² عالمكعب
ح = ل³م_كلية = 6 ل²
تمرين 1: مسألة السلم الكلاسيكية
المسألة: سلم طوله 10 m يستند بطرفه العلوي على حائط رأسي وبطرفه السفلي على أرض أفقية. فإذا انزلق الطرف السفلي مبتعداً عن الحائط بمعدل 2 m/s، فأوجد معدل هبوط الطرف العلوي عندما يكون الطرف السفلي على بعد 6 m من الحائط.
• نفرض بعد الطرف السفلي عن الحائط س، والعلوي عن الأرض ص.
• فيثاغورس: س² + ص² = 10² = 100.
• عند س = 6: 36 + ص² = 100 ⇐ ص² = 64 ⇐ ص = 8 m.
• بالاشتقاق بالنسبة للزمن ن: 2س (د س / د ن) + 2ص (د ص / د ن) = 0.
• س (د س / د ن) + ص (د ص / د ن) = 0.
• 6 (2) + 8 (د ص / د ن) = 0 ⇐ 12 + 8 (د ص / د ن) = 0.
• د ص / د ن = - 12 / 8 = - 1.5 m/s.
• معدل هبوط الطرف العلوي هو 1.5 m/s (الإشارة السالبة تعني هبوطاً ونقصاناً في ص).
تمرين 2: تسرب الغاز من بالون كروي
المسألة: بالون كروي يتسرب منه الغاز بمعدل 8π cm³/s. احسب معدل تناقص نصف قطره ومعدل تناقص مساحة سطحه في اللحظة التي يكون فيها نصف القطر نق = 2 cm.
• حجم الكرة: ح = (4/3) π نق³.
• د ح / د ن = 4 π نق² (د نق / د ن).
• بالتعويض: -8π = 4 π (2)² (د نق / د ن) ⇐ -8π = 16π (د نق / د ن).
• د نق / د ن = - 8π / 16π = - 0.5 cm/s.
• مساحة السطح: م = 4 π نق² ⇐ د م / د ن = 8 π نق (د نق / د ن).
• د م / د ن = 8 π (2) (-0.5) = - 8π cm²/s (معدل تناقص المساحة هو 8π cm²/s).
تمرين 3: حركة رجل وظله
المسألة: رجل طوله 1.8 m يسير بسرعة منتظمة 1.2 m/s في خط مستقيم مبتعداً عن عمود إنارة يعلوه مصباح ارتفاعه 4.8 m عن الأرض. أوجد: (1) معدل تغير طول ظل الرجل، (2) معدل تحرك قمة ظل الرجل.
• نفرض بعد الرجل عن العمود س (د س / د ن = 1.2 m/s)، وطول ظله ص.
• من تشابه المثلثين: 1.8 / 4.8 = ص / (س + ص).
• 3 / 8 = ص / (س + ص) ⇐ 8 ص = 3 س + 3 ص ⇐ 5 ص = 3 س.
• بالاشتقاق بالنسبة للزمن: 5 (د ص / د ن) = 3 (د س / د ن) = 3 (1.2) = 3.6.
• معدل تغير طول الظل: د ص / د ن = 3.6 / 5 = 0.72 m/s.
• بعد قمة الظل عن العمود = س + ص.
• معدل تحرك قمة الظل = د س / د ن + د ص / د ن = 1.2 + 0.72 = 1.92 m/s.
تمرين 4: تباعد سيارتين من نقطة واحدة
المسألة: تحركت سيارتان من نفس النقطة وفي نفس اللحظة: الأولى نحو الشرق بسرعة 60 km/h والثانية نحو الشمال بسرعة 80 km/h. احسب معدل تزايد المسافة بينهما بعد مرور ساعتين.
• المسافة بينهما ف تشكل وتراً لمثلث قائم: ف² = س² + ص².
• بعد ساعتين: س = 60 × 2 = 120 km ، ص = 80 × 2 = 160 km.
• ف = √(120² + 160²) = √(14400 + 25600) = √40000 = 200 km.
• بالاشتقاق بالنسبة للزمن: 2 ف (د ف / د ن) = 2 س (د س / د ن) + 2 ص (د ص / د ن).
• ف (د ف / د ن) = س (د س / د ن) + ص (د ص / د ن).
• 200 (د ف / د ن) = 120 (60) + 160 (80) = 7200 + 12800 = 20000.
• د ف / د ن = 20000 / 200 = 100 km/h.
تمرين 5: صب سائل في خزان مخروطي
المسألة: مرشح مخروطي رأسه لأسفل نصف قطر قاعدته 10 cm وارتفاعه 20 cm يصب فيه سائل بمعدل 12 cm³/s. أوجد معدل ارتفاع السائل في اللحظة التي يكون فيها عمق السائل 8 cm.
• من تشابه المثلثين: نق / 10 = ع / 20 ⇐ نق = ½ ع.
• حجم السائل: ح = ⅓ π نق² ع = ⅓ π (½ ع)² ع = (1/12) π ع³.
• د ح / د ن = (3/12) π ع² (د ع / د ن) = ¼ π ع² (د ع / د ن).
• عند ع = 8: 12 = ¼ π (8)² (د ع / د ن) = 16 π (د ع / د ن).
• د ع / د ن = 12 / (16 π) = 3 / (4 π) cm/s.
تمرين 6: تمدد صفيحة مثلثة متساوية الأضلاع
المسألة: صفيحة معدنية على شكل مثلث متساوي الأضلاع تتمدد بانتظام بالحرارة بحيث يزداد طول ضلعها بمعدل 0.2 cm/s. احسب معدل الزيادة في مساحتها عندما يكون طول ضلعها 10 cm.
• مساحة المثلث متساوي الأضلاع: م = (√3 / 4) ل².
• د م / د ن = (√3 / 4) × 2 ل (د ل / د ن) = (√3 / 2) ل (د ل / د ن).
• بالتعويض عند ل = 10 و د ل / د ن = 0.2:
• د م / د ن = (√3 / 2) × 10 × 0.2 = √3 cm²/s ≈ 1.732 cm²/s.
تمرين 7: مكعب جليد ينصهر مع الاحتفاظ بشكله
المسألة: قطعة من الجليد على شكل مكعب تنصهر محتفظة بشكلها المكعب بمعدل 1 cm³/s. أوجد معدل تغير مساحتها الكلية عندما يكون طول حرفها 5 cm.
• الحجم ح = ل³ ⇐ د ح / د ن = 3 ل² (د ل / د ن).
• -1 = 3 (5)² (د ل / د ن) = 75 (د ل / د ن) ⇐ د ل / د ن = - 1 / 75 cm/s.
• المساحة الكلية م = 6 ل² ⇐ د م / د ن = 12 ل (د ل / د ن).
• د م / د ن = 12 (5) (- 1 / 75) = - 60 / 75 = - 4 / 5 = - 0.8 cm²/s.
• معدل تناقص المساحة الكلية هو 0.8 cm²/s.
تمرين 8: معدل تغير الزاوية بين السلم والأرض
المسألة: في مسألة السلم بالتمرين 1 (طوله 10 m وس = 6 m وص = 8 m وسرعة انزلاق الطرف السفلي 2 m/s)، أوجد معدل تغير قياس الزاوية θ المحصورة بين السلم والأرض.
• جتا θ = س / 10 ⇐ بالاشتقاق بالنسبة للزمن ن:
• - جا θ (د θ / د ن) = (1 / 10) (د س / د ن).
• جا θ = المقابل / الوتر = ص / 10 = 8 / 10 = 0.8.
• - 0.8 (د θ / د ن) = (1 / 10) × 2 = 0.2.
• د θ / د ن = - 0.2 / 0.8 = - 1 / 4 = - 0.25 rad/s (راديان لكل ثانية).
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: