الوحدة الأولى - مراجعة شاملة ومسائل مستويات تفكير عليا في التفاضل: الربط والتركيب والمسائل الاستنتاجية المتقدمة
تُشكّل هذه المحطة التجميعية المراجعة الشاملة المتكاملة لجميع مخرجات التعلم في الوحدة الأولى (التفاضل وتطبيقاته) لشهادة إتمام الدراسة الثانوية العامة وفق أحدث مواصفات الورقة الاختبارية الوزارية المعتمدة. تجمع هذه المحطة بين براعة اشتقاق الدوال المثلثية ومقلوباتها وتحويل المتطابقات، ودقة الاشتقاق الضمني والبارامتري وتطبيقات المشتقات العليا، وصولاً إلى استنتاج معادلتي المماس والعمودي في الحالات غير النمطية، والتعامل الاحترافي مع مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة متعددة الحلقات. وتتميز مسائل المستويات العليا هنا بالربط التكاملي بين الهندسة المستوية والتحليلية والمفاهيم الفيزيائية المتشابكة، مما يمنح الطالب عمقاً رياضياً وقدرة على التفكير المنطقي المتسلسل وحل أصعب المسائل الرياضية التنافسية بثقة مطلقة.
1. خريطة الترابط الرياضي لقوانين التفاضل
-
مشتقات المقلوبات:
قا' = قا ظا،قتا' = - قتا ظتا،ظتا' = - قتا². -
الاشتقاق الضمني: اشتقاق ص بالنسبة لـ س يولد
ص'دائماً، وحاصل الضرب(س ص)' = س ص' + ص. -
الاشتقاق البارامتري:
د ص / د س = (د ص / د ن) / (د س / د ن)، ود²ص/دس² = [د/دن (ص')] / (د س / د ن). -
التطبيقات الهندسية والحركية: المماس
ص - ص₁ = م (س - س₁)، والمعدلاتد ف / د نبإشاراتها الدقيقة.
2. مفاتيح حل مسائل المستويات العليا
| الفكرة المركبة | المفتاح التحليلي | الهدف الرياضي |
|---|---|---|
| مماس يمر بنقطة لا تنتمي للمنحنى | نفرض نقطة التماس (س₁، ص₁) ونساوي ميل القاطع بميل المماس المشتق | (ص₁ - ب) / (س₁ - أ) = د'(س₁) |
| منحنيان متقاطعان على التعامد | حاصل ضرب ميلي المماسين عند نقطة التقاطع المشتركة = -1 | م₁ · م₂ = -1 |
| انعدام المشتقة النونية | الرتبة أكبر من درجة كثيرة الحدود | د⁽ⁿ⁾(س) = 0 عندما ن > الدرجة |
3. فنيات التبسيط الجبري قبل الاشتقاق
قبل الشروع في اشتقاق مقادير كسرية أو جذور معقدة تحتوي على دوال مثلثية، ابحث دائماً عن إمكانية تطبيق متطابقات ضعف الزاوية مثل 2 جا س جتا س = جا(2س)، أو متطابقات فيثاغورس قا² س - ظا² س = 1، لتحويل المقدار إلى حد واحد بسيط يسهل اشتقاقه مرات متتالية دون أخطاء حسابية.
تمرين 1: مماس لمنحنى يمر بنقطة خارج المنحنى
المسألة: أوجد معادلة مماس المنحنى ص = س² والمار بالنقطة (2، 3) والتي لا تقع على المنحنى.
• نفرض نقطة التماس الواقعة على المنحنى هي (س₁، ص₁) = (س₁، س₁²).
• ميل المماس من الاشتقاق: م = د ص / د س = 2س₁.
• ميل المماس من النقطتين (س₁، س₁²) و (2، 3): م = (س₁² - 3) / (س₁ - 2).
• بمساواة الميلين: 2س₁ = (س₁² - 3) / (س₁ - 2) ⇐ 2س₁² - 4س₁ = س₁² - 3.
• س₁² - 4س₁ + 3 = 0 ⇐ (س₁ - 1)(س₁ - 3) = 0 ⇐ س₁ = 1 أو س₁ = 3.
• إذا كانت س₁ = 1: ص₁ = 1 والميل م = 2 ⇐ المعادلة: ص - 3 = 2(س - 2) ⇐ 2س - ص - 1 = 0.
• إذا كانت س₁ = 3: ص₁ = 9 والميل م = 6 ⇐ المعادلة: ص - 3 = 6(س - 2) ⇐ 6س - ص - 9 = 0.
تمرين 2: إثبات تفاضلي لدالة كسرية مثلثية
المسألة: إذا كانت ص = (جا س + جتا س) / (جا س - جتا س)، فأثبت أن: د ص / د س = - 2 / (جا س - جتا س)².
• نطبق قاعدة خارج قسمة دالتين:
• البسط = جا س + جتا س ⇐ مشتقته = جتا س - جا س = - (جا س - جتا س).
• المقام = جا س - جتا س ⇐ مشتقته = جتا س + جا س.
• د ص / د س = [المقام × مشتقة البسط - البسط × مشتقة المقام] / (المقام)².
• البسط الجديد = (جا س - جتا س)[- (جا س - جتا س)] - (جا س + جتا س)(جا س + جتا س).
• = - (جا س - جتا س)² - (جا س + جتا س)² = - [جا²س - 2جا جتا + جتا²س + جا²س + 2جا جتا + جتا²س].
• = - [1 + 1] = - 2.
• إذن: د ص / د س = - 2 / (جا س - جتا س)² (وهو المطلوب).
تمرين 3: مسألة مصباح يتحرك في مسار دائري
المسألة: جسيم يتحرك على المنحنى الدائري س² + ص² = 25 في اتجاه حركة عقارب الساعة. فإذا كان معدل تغير إحداثيه السيني عند النقطة (3، 4) هو 8 وحدة/ث، فأوجد معدل تغير إحداثيه الصادي عند نفس النقطة.
• بالاشتقاق بالنسبة للزمن ن: 2س (د س / د ن) + 2ص (د ص / د ن) = 0.
• س (د س / د ن) + ص (د ص / د ن) = 0.
• بالتعويض عند النقطة (3، 4) و د س / د ن = 8:
• 3 (8) + 4 (د ص / د ن) = 0 ⇐ 24 + 4 (د ص / د ن) = 0.
• د ص / د ن = - 24 / 4 = - 6 وحدة/ث (يتناقص إحداثيه الصادي).
تمرين 4: عمودان كهربيان وحبل متدلي
المسألة: إذا كانت ص = أ جتا(ك س) + ب جا(ك س)، فأثبت أن: ص'' + ك² ص = 0.
• ص' = - أ ك جا(ك س) + ب ك جتا(ك س).
• بالاشتقاق مرة ثانية بالنسبة إلى س:
• ص'' = - أ ك² جتا(ك س) - ب ك² جا(ك س).
• بأخذ (- ك²) عاملاً مشتركاً:
• ص'' = - ك² [أ جتا(ك س) + ب جا(ك س)].
• وبما أن المقدار بين القوسين يمثل ص الأصلية: ص'' = - ك² ص ⇐ ص'' + ك² ص = 0.
تمرين 5: إيجاد قياس زاوية التقاطع بين منحنيين
المسألة: أوجد قياس زاوية التقاطع بين المنحنيين ص = س² و ص = √(س) عند نقطة تقاطعهما (1، 1).
• ميل المنحنى الأول: م₁ = د ص₁ / د س = 2س. عند س = 1: م₁ = 2.
• ميل المنحنى الثاني: ص₂ = س^(1/2) ⇐ م₂ = 1 / (2 √س). عند س = 1: م₂ = ½.
• قانون الزاوية بين مستقيمين: ظا θ = |(م₁ - م₂) / (1 + م₁ م₂)|.
• ظا θ = |(2 - 0.5) / (1 + 2 × 0.5)| = |1.5 / (1 + 1)| = 1.5 / 2 = 0.75 = 3/4.
• قياس زاوية التقاطع θ = ظا⁻¹(0.75) ≈ 36° 52'.
تمرين 6: مشتقة دالة مقلوب مثلثي مركبة
المسألة: إذا كانت ص = ظتا²(π / 6)، فأوجد د ص / د س.
• نلاحظ أن الزاوية π / 6 زاوية عددية ثابتة ولا تحتوي على المتغير س.
• ظتا(π / 6) = √3 ، إذن ص = (√3)² = 3 (مقدار ثابت تماماً).
• مشتقة أي مقدار ثابت بالنسبة إلى س تساوي صفراً: د ص / د س = 0.
تمرين 7: مثلث متساوي الساقين ومعدل تغير قاعدته
المسألة: مثلث متساوي الساقين طول كل من ساقيه 10 cm والزاوية بينهما θ تتغير بمعدل 0.1 rad/s. احسب معدل تغير مساحة المثلث عندما تكون θ = 60°.
• مساحة المثلث م = ½ × أ × ب × جا θ = ½ × 10 × 10 × جا θ = 50 جا θ.
• بالاشتقاق بالنسبة للزمن ن: د م / د ن = 50 جتا θ (د θ / د ن).
• عند θ = 60°: جتا(60°) = 0.5 ، و د θ / د ن = 0.1 rad/s.
• د م / د ن = 50 × 0.5 × 0.1 = 2.5 cm²/s.
تمرين 8: انعدام المشتقة لمقدار دالة عكسية
المسألة: إذا كانت ص = قا س ، فأوجد قيمة المقدار: ص ص'' - 2 (ص')² + ص².
• ص' = قا س ظا س.
• ص'' = قا س (قا² س) + ظا س (قا س ظا س) = قا³ س + قا س ظا² س = قا س (قا² س + ظا² س).
• المقدار = قا س [قا³ س + قا س ظا² س] - 2 (قا² س ظا² س) + قا² س.
• = قا⁴ س + قا² س ظا² س - 2 قا² س ظا² س + قا² س = قا⁴ س - قا² س ظا² س + قا² س.
• = قا² س [قا² س - ظا² س + 1] = قا² س [1 + 1] = 2 قا² س = 2ص².
اضغط على أي بطاقة لاكتشاف المعنى الدقيق، واضغط على أيقونة الصوت للاستماع للنطق:
اضغط على الإجابة لتتحقق من فهمك وتكتشف التفسير النموذجي فورياً: